En Álgebra Lineal, los vectores y las matrices son elementos fundamentales utilizados para representar y manipular datos en múltiples dimensiones. En este artículo, exploraremos sus definiciones, operaciones y propiedades esenciales.
1. Vectores
Un vector en \(\mathbb{R}^n\) es una lista ordenada de \(n\) números reales representados en forma de columna o fila: $$ \Large \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} $$
Las operaciones básicas con vectores incluyen:
- Suma de vectores: Dados \(\mathbf{u}\) y \(v\mathbf{v}\), su suma es:
$$ \Large \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix} $$
- Multiplicación por un escalar: Si \(c\) es un escalar y \(\mathbf{v}\) un vector, entonces:
$$ \Large c v = \begin{bmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_n \end{bmatrix} $$
- Producto escalar: Dados \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\), su producto escalar es:
$$ \Large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n $$
2. Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas: $$ \Large A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix} $$
Las operaciones básicas con matrices incluyen:
- Suma de matrices: Para dos matrices del mismo tamaño \(A\) y \(B\),
A+B=[a11+b11a12+b12…a1m+b1m⋮⋮⋱⋮an1+bn1an2+bn2…anm+bnm]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \dots & a_{nm} + b_{nm} \end{bmatrix}
- Multiplicación por un escalar: Para un escalar \(c\),
$$ \Large c A = \begin{bmatrix} c a_{11} & c a_{12} & \dots & c a_{1m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c a_{n1} & c a_{n2} & \dots & c a_{nm} \end{bmatrix} $$
- Multiplicación de matrices: Si \(A\) es una matriz de tamaño \(n \times m\) y \(B\) de tamaño \(m \times p\), su producto es:
$$ \Large(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik} b_{kj} $$
3. Aplicaciones de Vectores y Matrices
Las matrices y los vectores son ampliamente utilizados en diversas áreas, como:
- Geometría y transformaciones lineales
- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
- Computación gráfica y animación
- Machine Learning y procesamiento de datos
Conclusión
Los vectores y las matrices son herramientas fundamentales en el Álgebra Lineal, proporcionando una base sólida para la resolución de problemas en matemáticas aplicadas y ciencias computacionales.
