La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Sus funciones y propiedades tienen aplicaciones en geometría, física, ingeniería y muchas otras áreas.
1. Funciones Trigonométricas
Dado un triángulo rectángulo con un ángulo θ\theta, se definen las siguientes razones trigonométricas:
- Seno: \( \Large \sin \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \)
- Coseno: \( \Large \cos \theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \)
- Tangente: \( \Large \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{cateto opuesto}} {\text{cateto adyacente}} \)
Las funciones recíprocas son:
- Cosecante: \( \Large \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \)
- Secante: \( \Large \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \)
- Cotangente: \( \Large \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \)
2. Identidades Trigonométricas Fundamentales
Algunas identidades importantes son:
- Identidad pitagórica: $$ \Large \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
Otras formas derivadas de esta son: $$ \Large 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \quad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $$ - Fórmulas de adición y sustracción: $$ \Large \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $$ $$ \Large \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $$ $$ \Large \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} $$
3. Funciones Trigonométricas en el Círculo Unitario
El círculo unitario es una herramienta útil para extender las funciones trigonométricas a cualquier ángulo. En este, un punto (x,y)(x, y) sobre la circunferencia satisface: x=cosθ,y=sinθx = \cos \theta, \quad y = \sin \theta
Esto permite definir las funciones trigonométricas para ángulos mayores de 90∘90^\circ y negativos.
4. Leyes de la Trigonometría
- Ley de los senos: $$ \Large \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
- Ley de los cosenos: $$ \Large c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C $$
Estas leyes son fundamentales para resolver triángulos que no sean rectángulos.
Conclusión
La trigonometría es una herramienta matemática esencial que permite describir y resolver problemas relacionados con ángulos y longitudes en diversas áreas científicas y técnicas.