Transformaciones Lineales

En Álgebra Lineal, las transformaciones lineales son funciones que preservan la estructura lineal de los espacios vectoriales. Es decir, una transformación lineal transforma vectores de un espacio vectorial en otro espacio (o el mismo) sin alterar las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares.

Definición

Una transformación lineal \(T\) de un espacio vectorial \(V\) en un espacio vectorial \(W\) es una función que asigna a cada vector \(\mathbf{v} \in V\) un vector \(\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) \in W\) tal que cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: \(T(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) = T(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2)\) para todos los vectores \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V\).
2. Homogeneidad: \(T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})\) para todo \(\mathbf{v} \in V\) y \(c \in \mathbb{R}\) (o en el cuerpo de escalares del espacio vectorial).

Estas dos propiedades son esenciales para que una función sea una transformación lineal.

Representación matricial de las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales pueden representarse mediante matrices. Si TT es una transformación lineal de un espacio \(V\) en \(W\), y tenemos una base \(\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}\) de \(V\) y una base \(\{ \mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \dots, \mathbf{m} \}\) de \(W\), entonces la transformación \(T\) se puede expresar como una matriz \(A\) tal que: $$ \Large T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} $$

donde \(A\) es una matriz de dimensiones \(m \times n\), y \(\mathbf{v}\) es un vector columna en \(V\).

Propiedades de las transformaciones lineales

1. La imagen de una transformación lineal es un subespacio: La imagen \(\text{Im}(T)\) de una transformación lineal es siempre un subespacio del espacio de llegada.
2. La nulidad de una transformación lineal: La nulidad de \(T\), denotada como \(\text{nul}(T)\), es el número de soluciones al sistema \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\), y es igual al número de columnas linealmente dependientes de la matriz \(A\) que representa \(T\).
3. El rango de una transformación lineal: El rango de \(T\), denotado como \(\text{ran}(T)\), es el número de columnas linealmente independientes en la matriz \(A\) de la transformación.
4. El teorema de la dimensión: Según el teorema de la dimensión, para una transformación lineal \(T\) entre dos espacios vectoriales \(V\) y \(W\), se cumple la siguiente ecuación: $$ \Large \text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Im}(T)) + \text{dim}(\text{Ker}(T)) $$ donde \(\text{Ker}(T)\) es el núcleo de la transformación, o el conjunto de vectores \(\mathbf{v} \in V\) tal que \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\).

Ejemplo de transformación lineal

Sea \(T\) una transformación lineal en \(\mathbb{R}^2\) dada por: $$ \Large T\left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x + y \\ x – y \end{bmatrix} $$

Para calcular la matriz de esta transformación, usamos las bases estándar de \( \mathbb{R}^2\), es decir, \({e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) y \({e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\), y aplicamos \(T\) a estos vectores: $$ \Large T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$

Entonces, la matriz de la transformación es: $$ \Large A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $$

Aplicaciones de las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales tienen numerosas aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas, la física y la ingeniería. Algunas aplicaciones comunes incluyen:

• Rotaciones y escalados: En geometría y gráficos por computadora, las transformaciones lineales se usan para rotar, escalar y reflejar figuras.
• Sistemas de ecuaciones lineales: Las transformaciones lineales pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales y estudiar sus propiedades.
• Análisis de datos y reducción de dimensionalidad: Las transformaciones lineales, como la transformación de coordenadas, son fundamentales en el análisis de datos y en métodos de reducción de dimensionalidad como el Análisis de Componentes Principales (PCA).