Teoría de Morse en Topología Diferencial
La Teoría de Morse es una herramienta poderosa en topología diferencial que estudia las propiedades topológicas de variedades diferenciables a través del análisis de funciones diferenciables en ellas. Su utilidad radica en la caracterización de la estructura global de una variedad mediante los puntos críticos de una función suave definida en ella.
Funciones de Morse
Sea \(M\) una variedad diferenciable de dimensión \(n\). Una función suave \(f: M \to \mathbb{R}\) es una función de Morse si todos sus puntos críticos son no degenerados, es decir, si la matriz hessiana de \(f\) en cada punto crítico tiene rango máximo.
Formalmente, un punto \(p \in M\) es crítico si \( df_p = 0\).
Dicho punto es no degenerado si la matriz hessiana $$ \Large H_f(p) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right) $$
es de rango completo, lo que equivale a que sus valores propios sean todos no nulos.
Índice de Morse
El índice de Morse de un punto crítico \(p\) de \(f\) es el número de autovalores negativos de la matriz hessiana \(H_f(p)\). Este índice determina la naturaleza del punto crítico:
- Índice 0: Mínimo local.
- Índice \(n\): Máximo local.
- Índice intermedio: Silla.
Teorema Fundamental de la Teoría de Morse
El teorema principal establece que, en una vecindad de un punto crítico no degenerado \(p\), existen coordenadas locales \((x_1, \dots, x_n)\) tales que la función toma la forma normal \( f(x) = f(p) – x_1^2 – \dots – x_k^2 + x_{k+1}^2 + \dots + x_n^2, \)
donde \(k\) es el índice de Morse en \(p\). Esta expresión muestra cómo la función se comporta en torno a \(p\) y cómo contribuye a la topología de \(M\).
Consecuencias Topológicas
La teoría de Morse permite describir la topología de \(M\) en función de la variación de \(f\). En particular:
- Si \(M\) tiene una función de Morse \(f\), se puede construir una descomposición celular de \(M\) donde cada punto crítico de índice \(k\) introduce una \(k\)-célula.
- La homología de \(M\) se relaciona con los índices de los puntos críticos de \(f\).
Aplicaciones
- Clasificación de variedades: Permite descomponer una variedad en piezas elementales.
- Relación con la teoría de Morse-Bott: Extiende la teoría a funciones con conjuntos críticos no aislados.
- Geometría diferencial y análisis global: Se usa para estudiar la geometría de subvariedades y flujos en campos vectoriales gradientes.
Conclusión
La Teoría de Morse proporciona una conexión fundamental entre la geometría diferencial y la topología algebraica. Mediante el análisis de funciones suaves en una variedad, es posible obtener información detallada sobre su estructura global y sus propiedades homotópicas y homológicas.