Los teoremas de Green, Gauss y Stokes son resultados fundamentales en el cálculo vectorial que establecen relaciones entre integrales de línea, de superficie y de volumen. Son herramientas esenciales en diversas aplicaciones de la física y la ingeniería.
Teorema de Green
El teorema de Green establece una relación entre una integral de línea y una integral doble en una región del plano. Sea \(C\) una curva cerrada simple y suave en el plano, que delimita una región \(D\), y sea \(\mathbf{F} = (P, Q)\) un campo vectorial definido en \(D\) con derivadas parciales continuas. Entonces,
$$ \Large \oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA $$
Aplicaciones:
- Cálculo de áreas mediante integrales de línea.
- Cálculo del flujo de un campo vectorial en el plano.
Teorema de la Divergencia (Gauss)
El teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, establece una relación entre el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada y la integral de volumen de la divergencia del campo. Sea \(S\) una superficie cerrada orientada hacia el exterior que encierra un volumen \(V\), y sea \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\) un campo vectorial con derivadas parciales continuas, entonces,
$$ \Large \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV $$
Aplicaciones:
- Modelado de flujos en dinámica de fluidos.
- Interpretación de ecuaciones de conservación en física.
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes generaliza el teorema de Green a superficies en el espacio tridimensional. Sea \(S\) una superficie orientada suavemente con borde \(C\), y sea \(\mathbf{F}\) un campo vectorial con derivadas parciales continuas, entonces,
$$ \Large \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} $$
Aplicaciones:
- Cálculo de circulación de campos vectoriales en electromagnetismo.
- Relación entre circulación y rotacional de un campo vectorial.
Conclusión
Los teoremas de Green, Gauss y Stokes proporcionan herramientas esenciales para convertir integrales de una dimensión en integrales de dimensión superior, facilitando el cálculo de propiedades físicas y matemáticas en diversos contextos.