Teorema de Van Kampen
El teorema de Van Kampen es una herramienta fundamental en topología algebraica que permite calcular el grupo fundamental de un espacio topológico mediante la información de sus subconjuntos abiertos. Es especialmente útil para estudiar la conectividad de espacios construidos mediante la unión de subespacios más simples.
Enunciado del Teorema
Sea \(X\) un espacio topológico que se puede descomponer como la unión de dos subconjuntos abiertos \(U\) y \(V\), es decir, \(X = U \cup V\).
Si \(U\), \(V\) y su intersección \(U \cap V\) son conexos por trayectorias, y si \(U \cap V\) es conexo por trayectorias en \(X\), entonces el grupo fundamental \(\pi_1(X, x_0)\) se puede obtener mediante el producto libre amalgamado de \(\pi_1(U, x_0)\) y \(\pi_1(V, x_0)\) sobre \(\pi_1(U \cap V, x_0)\). Formalmente, \(\pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(U, x_0) *_{\pi_1(U \cap V, x_0)} \pi_1(V, x_0)\).
Aquí, el producto libre amalgamado identifica los generadores de \(\pi_1(U \cap V, x_0)\) en \(\pi_1(U, x_0)\) y \(\pi_1(V, x_0)\).
Aplicaciones
El teorema de Van Kampen se usa ampliamente para calcular grupos fundamentales de espacios construidos mediante uniones de conjuntos más simples. Algunos ejemplos notables incluyen:
- Grupo fundamental del círculo \(S^1\): Se puede obtener a partir de dos abiertos contractiles cuya intersección es homotópicamente equivalente a un punto.
- Grupo fundamental del toro \(T^2\): Se puede calcular usando una descomposición adecuada del espacio.
- Grupos fundamentales de superficies más complejas, como superficies de género mayor.
Ejemplo: Cálculo del grupo fundamental de \(S^1\)
Consideremos el círculo unitario \(S^1\), el cual podemos descomponer en dos abiertos contractiles \(U\) y \(V\), cuyas intersecciones son homotópicamente equivalentes a un punto. Aplicando el teorema de Van Kampen, \(\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}\),
es decir, el grupo fundamental del círculo es isomorfo a los enteros con la operación de suma.
Conclusión
El teorema de Van Kampen es una herramienta poderosa en la topología algebraica, permitiendo calcular grupos fundamentales de espacios complejos a partir de subconjuntos más simples. Su uso es esencial en la clasificación de espacios topológicos y en el estudio de variedades y recubrimientos.