El Teorema de Pitágoras es un resultado fundamental en la Geometría Euclidiana que establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Su importancia en el área de Álgebra radica en que permite derivar ecuaciones y resolver problemas geométricos algebraicamente.
Enunciado del Teorema de Pitágoras
Si un triángulo es rectángulo, es decir, tiene un ángulo de \(90^\circ\), entonces se cumple que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Matemáticamente:
$$ \Large c^2 = a^2 + b^2 $$
donde:
- \(a\) y \(b\) son los catetos,
- \(c\) es la hipotenusa.
Aplicación en Álgebra
Desde el punto de vista algebraico, este teorema permite resolver diversas ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones, además de modelar problemas geométricos.
1. Determinación de un lado desconocido
Si se conocen dos lados de un triángulo rectángulo, podemos despejar el tercero:
- Para la hipotenusa:
$$ \Large c = \sqrt{a^2 + b^2} $$ - Para un cateto:
$$ \Large a = \sqrt{c^2 – b^2} $$
2. Ecuaciones de circunferencia y distancia entre puntos
El Teorema de Pitágoras también es útil para demostrar la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: $$ \Large d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $$
Además, permite derivar la ecuación estándar de la circunferencia con centro en \((h,k)\) y radio \(r\): $$ \Large (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 $$
3. Uso en Identidades Trigonométricas
La relación pitagórica entre seno y coseno se obtiene aplicando este teorema en el círculo unitario: $$ \Large \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
Ejemplo Práctico
Si un triángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades, hallamos la hipotenusa así: $$ \Large c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
Esto demuestra que el triángulo de lados 3, 4 y 5 es rectángulo.
Conclusión
El Teorema de Pitágoras es una herramienta poderosa en Geometría Euclidiana con amplias aplicaciones algebraicas. No solo permite resolver problemas geométricos sino que también fundamenta importantes ecuaciones en álgebra y trigonometría.