Definición
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones en las que las incógnitas aparecen con exponente 1 y no se multiplican entre sí. Su forma general es: $$ \Large \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + \dots = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z + \dots = d_2 \\ \vdots \\ a_nx + b_ny + c_nz + \dots = d_n \end{cases} $$
donde los coeficientes \(a_i, b_i, c_i, \dots\) y los términos independientes \(d_i\) son números reales.
Métodos de Resolución
1. Método de Sustitución
Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en las demás.
Ejemplo: $$ \large \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x – y = 5 \end{cases} $$
- Despejamos \(x\) en la primera ecuación: $$ \large x = 8 – 2y $$
- Sustituimos en la segunda ecuación: $$ \large 3(8 – 2y) – y = 5 $$ $$ \large 24 – 6y – y = 5 $$ $$ \large -7y = -19 \Rightarrow y = \frac{19}{7} $$
- Sustituyendo \(y\) en \(x = 8 – 2y\): $$ \large x = 8 – 2\left(\frac{19}{7}\right) = \frac{56}{7} – \frac{38}{7} = \frac{18}{7} $$
- Solución: $$ \large \left(\frac{18}{7}, \frac{19}{7}\right) $$.
2. Método de Igualación
Se despeja la misma variable en dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.
Ejemplo: $$ \large \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x – 2y = 8 \end{cases} $$
- Despejamos xx en ambas ecuaciones: $$ \large x = \frac{10 – 4y}{3}, \quad x = \frac{8 + 2y}{5} $$
- Igualamos: $$ \large \frac{10 – 4y}{3} = \frac{8 + 2y}{5} $$
- Resolviendo, obtenemos \(y\) y luego \(x\).
3. Método de Eliminación o Reducción
Consiste en sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable.
Ejemplo: $$ \large \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x – 3y = 6 \end{cases} $$
Sumamos ambas ecuaciones: $$ \large (2x + 3y) + (4x – 3y) = 12 + 6 $$ $$ \large 6x = 18 \Rightarrow x = 3 $$
Sustituyendo en la primera ecuación: $$ \large 2(3) + 3y = 12 \Rightarrow 6 + 3y = 12 \Rightarrow y = 2 $$
Solución: \((3,2)\).
4. Método de Matrices (Regla de Cramer)
Para un sistema de ecuaciones en forma matricial: $$ \large AX = B $$
donde \(A\) es la matriz de coeficientes, \(X\) el vector de incógnitas y \(B\) el vector de términos independientes, la solución se obtiene mediante determinantes: $$ \large x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$
donde \(A_i\) es la matriz obtenida al reemplazar la \(i\)-ésima columna de \(A\) por \(B\).
