Series de Fourier
Las Series de Fourier son una herramienta fundamental en análisis matemático, utilizadas para representar funciones periódicas como una suma infinita de funciones trigonométricas. Estas series tienen aplicaciones en procesamiento de señales, ecuaciones diferenciales y física matemática.
1. Definición de Serie de Fourier
Dada una función periódica \(f(x)\) con período \(T\), su serie de Fourier se expresa como: $$ \Large f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right),$$ donde los coeficientes de Fourier se calculan como: $$ \Large a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \, dx, $$ $$ \Large b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \, dx. $$
2. Convergencia de la Serie de Fourier
La convergencia de la serie de Fourier depende de las propiedades de \(f(x)\):
- Si \(f(x)\) es de clase \(C^1\) en un intervalo, la serie converge uniformemente a \(f(x)\).
- Si \(f(x)\) es discontinua, la serie de Fourier puede aproximarla, pero exhibe el fenómeno de Gibbs en los puntos de discontinuidad.
- Si \(f(x)\) es absolutamente integrable, su serie de Fourier converge en el sentido de las medias cuadráticas.
3. Formulación en Términos de Exponenciales Complejas
Usando la identidad de Euler \(e^{ix} = \cos x + i\sin x \), la serie de Fourier puede reescribirse como: $$ \Large f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i 2\pi n x/T},$$ donde los coeficientes son: $$ \Large c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i 2\pi n x/T} \, dx. $$
4. Propiedades Importantes
- Ortogonalidad: Las funciones \( \cos(2\pi nx/T)\) y \(\sin(2\pi nx/T)\) son ortogonales en el intervalo \([-T/2, T/2]\).
- Parseval: La serie de Fourier satisface el teorema de Parseval: $$ \Large \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|^2 \, dx.$$
- Diferenciación e integración: Se pueden diferenciar e integrar término a término bajo ciertas condiciones de regularidad.
Conclusión
Las Series de Fourier son esenciales para la descomposición de funciones periódicas y tienen aplicaciones en diversas áreas del análisis matemático, ecuaciones diferenciales y procesamiento de señales.
