Las secciones cónicas son curvas obtenidas al intersectar un cono con un plano. En Geometría Analítica, estas curvas se estudian mediante ecuaciones algebraicas en el plano cartesiano.
Las cuatro secciones cónicas fundamentales son:
- Circunferencia
- Parábola
- Elipse
- Hipérbola
1. Ecuación de la Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.
Ecuación canónica
Si la circunferencia tiene centro \((h, k)\) y radio \(r\), su ecuación es: $$ \Large (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 $$
Si el centro está en el origen \((0,0)\), la ecuación se simplifica a: $$ \Large x^2 + y^2 = r^2 $$
2. Ecuación de la Parábola
La parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.
Ecuación estándar
Si el vértice está en \((h, k)\) y el eje de simetría es vertical, la ecuación es: $$ \Large (x – h)^2 = 4p(y – k) $$
Si el eje de simetría es horizontal: $$ \Large (y – k)^2 = 4p(x – h) $$
donde \(p\) es la distancia del vértice al foco.
3. Ecuación de la Elipse
La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Ecuación estándar
Si la elipse está centrada en \((h, k)\) con semiejes \(a\) y \(b\): $$ \Large \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 $$
Si está centrada en el origen: $$ \Large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
- Si \(a > b\), el eje mayor es horizontal.
- Si \(b > a\), el eje mayor es vertical.
La excentricidad de la elipse está dada por: $$ \Large e = \frac{c}{a}, \quad c^2 = a^2 – b^2 $$
donde \(c\) es la distancia del centro a los focos.
4. Ecuación de la Hipérbola
La hipérbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
Ecuación estándar
Si la hipérbola está centrada en \((h, k)\) con ejes \(a\) y \(b\)b: $$ \Large \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 $$
Si está centrada en el origen: $$ \Large \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
La excentricidad de la hipérbola es: $$ \Large e = \frac{c}{a}, \quad c^2 = a^2 + b^2 $$
Las asíntotas de la hipérbola son líneas rectas que pasan por el centro y tienen ecuaciones: $$ \Large y – k = \pm \frac{b}{a} (x – h) $$
5. Aplicaciones de las Secciones Cónicas
Las secciones cónicas tienen múltiples aplicaciones en diversas áreas:
- Óptica: Las parábolas se usan en antenas y reflectores.
- Astronomía: Las órbitas planetarias son elipses.
- Ingeniería: Diseño de puentes y arcos hiperbólicos.
Conclusión
Las secciones cónicas son figuras geométricas fundamentales en Geometría Analítica y tienen un papel clave en diversas aplicaciones matemáticas, científicas e industriales.