Satisfacibilidad y Modelos Elementales en Teoría de Modelos
La Teoría de Modelos estudia la relación entre los lenguajes formales y las estructuras matemáticas que los interpretan. Dos conceptos fundamentales en este campo son la satisfacibilidad y los modelos elementales, los cuales permiten analizar la verdad de las fórmulas dentro de un modelo dado.
Satisfacibilidad en Teoría de Modelos
Una fórmula \(\varphi\) en un lenguaje de primer orden \(L\) es satisfacible si existe un modelo \(\mathcal{M}\) tal que \(\mathcal{M} \models \varphi\), es decir, la fórmula es verdadera en al menos un modelo.
- Si una fórmula \(\varphi\) es satisfecha por todos los modelos de una teoría \(T\), se dice que es válida, denotado por \(\models \varphi\).
- Si una teoría \(T\) tiene al menos un modelo, se dice que es consistente.
Ejemplo: En el modelo \(\mathcal{M} = (\mathbb{N}, +, \cdot, <)\), la fórmula \(\forall x \forall y (x + y = y + x)\) es satisfecha, por lo que \(\mathcal{M} \models \forall x \forall y (x + y = y + x)\).
Una teoría de primer orden \(T\) es satisfacible si existe al menos un modelo \(\mathcal{M}\) tal que \(\mathcal{M} \models T\). En caso contrario, se dice que es inconsistente.
Modelos Elementales
Un modelo \(\mathcal{M}\) es elemental respecto a otro modelo \(\mathcal{N}\) (denotado \(\mathcal{M} \preceq \mathcal{N}\)) si ambos modelos satisfacen las mismas fórmulas de primer orden.
Esto significa que cualquier enunciado verdadero en \(\mathcal{M}\) también lo es en \(\mathcal{N}\), y viceversa, para todas las fórmulas del lenguaje de primer orden \(L\).
Propiedades de los Modelos Elementales
- Extensión de Modelo: Si \(\mathcal{M} \preceq \mathcal{N}\), entonces \(\mathcal{N}\) es una extensión de \(\mathcal{M}\) y contiene elementos adicionales.
- Teorema de Tarski-Vaught: Un submodelo \(\mathcal{M}\) de \(\mathcal{N}\) es elemental si y solo si satisface la condición de Tarski-Vaught, es decir, cualquier fórmula con parámetros en \(\mathcal{M}\) tiene una solución en \(\mathcal{M}\) siempre que la tenga en \(\mathcal{N}\).
- Elementaridad y Cardinalidad: Si \(\mathcal{M} \preceq \mathcal{N}\), entonces \(\mathcal{M}\) puede tener la misma cardinalidad o una menor que \(\mathcal{N}\).
Ejemplo: Sea \(\mathcal{M} = (\mathbb{Q}, +, \cdot, <)\) el modelo de los números racionales y \(\mathcal{N} = (\mathbb{R}, +, \cdot, <)\) el modelo de los números reales. Se puede demostrar que \(\mathcal{M}\) no es un submodelo elemental de \(\mathcal{N}\) porque existen fórmulas verdaderas en \(\mathcal{N}\) que no son verdaderas en \(\mathcal{M}\) (como la existencia de raíces irracionales).
Conclusión
La satisfacibilidad es un concepto clave para determinar la existencia de modelos que cumplen con ciertas fórmulas dentro de una teoría. Los modelos elementales permiten estudiar la equivalencia lógica entre estructuras de diferentes cardinalidades y analizar extensiones de modelos dentro de la Teoría de Modelos.