Introducción
En el estudio de los límites en cálculo diferencial, una de las herramientas más poderosas para evaluar límites indeterminados es la Regla de L’Hôpital. Esta técnica nos permite calcular límites de funciones que presentan formas indeterminadas del tipo \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\) al sustituir los valores directamente.
Enunciado de la Regla de L’Hôpital
Sea \(f(x)\) y \(g(x)\) dos funciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene \(a\), excepto posiblemente en \(a\) mismo. Si: $$ \Large \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 $$
$$ \normalsize o $$ $$ \Large \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty $$
y además, la derivada \(g'(x) \neq 0\) en el intervalo, entonces el límite de la razón puede evaluarse como: $$ \Large \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
siempre que el límite del lado derecho exista o tienda a infinito.
Casos Comunes de Aplicación
- Forma indeterminada \( \frac{0}{0}\)
- Ejemplo: $$ \Large \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $$ Aplicando L’Hôpital: $$ \Large \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 $$
- Forma indeterminada \(\frac{\infty}{\infty}\)
- Ejemplo: $$ \Large \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} $$ Derivamos numerador y denominador: $$ \Large \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0 $$
Extensión a otras formas indeterminadas
La regla de L’Hôpital también puede aplicarse, con transformaciones adecuadas, a otros casos como \( 0 \cdot \infty\), \(\infty – \infty\), \(0^0\), \(\infty^0\) y \(1^\infty\). Para estos casos, se usan manipulaciones algebraicas previas (como tomar logaritmos en exponentes o transformar productos en fracciones).
Condiciones y Precauciones
- La función \(g(x)\) debe ser derivable y su derivada \(g'(x)\) no debe ser cero.
- La regla solo es aplicable si el límite del cociente de derivadas existe.
- No debe confundirse con la derivación de un cociente (regla del cociente).
Conclusión
La Regla de L’Hôpital es una herramienta fundamental para la evaluación de límites en cálculo. Su correcta aplicación permite resolver una gran variedad de problemas en análisis matemático y en otras disciplinas que requieren evaluar tasas de cambio en condiciones extremas.
