En álgebra, la racionalización es el proceso de eliminar radicales del denominador de una fracción. Este procedimiento es útil para simplificar expresiones y facilitar su manipulación en cálculos algebraicos.
1. Racionalización de Denominadores con Raíces Cuadradas
Si el denominador de una fracción contiene una raíz cuadrada, se multiplica por un término adecuado que elimine el radical.
Caso 1: Un solo término con raíz cuadrada en el denominador
Si tenemos una fracción de la forma: $$ \Large \frac{a}{\sqrt{b}} $$
Multiplicamos el numerador y el denominador por \(\sqrt{b}\): $$ \Large \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b} $$
Ejemplo: $$ \Large \frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $$
Caso 2: Binomio con raíz cuadrada en el denominador
Si el denominador es un binomio de la forma \(a + \sqrt{b}\), se multiplica por su conjugado, que es \(a – \sqrt{b}\): $$ \Large \frac{1}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a – \sqrt{b}}{a – \sqrt{b}} $$
Dado que el producto de conjugados se resuelve con la identidad: $$ \Large (a + \sqrt{b})(a – \sqrt{b}) = a^2 – b $$
se obtiene: $$ \Large \frac{a – \sqrt{b}}{a^2 – b} $$
Ejemplo: $$ \Large \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \times \frac{2 – \sqrt{5}}{2 – \sqrt{5}} = \frac{2 – \sqrt{5}}{4 – 5} = \frac{2 – \sqrt{5}}{-1} = – (2 – \sqrt{5}) $$
2. Racionalización con Raíces de Índice Mayor a Dos
Si el denominador contiene una raíz cúbica o de mayor índice, se multiplica por el factor necesario para completar el índice.
Caso 1: Monomio con raíz de índice \(n\) en el denominador
Si el denominador es \(\sqrt[n]{b}\), multiplicamos por \(\sqrt[n]{b^{n-1}}\) para obtener un exponente total de \(n\). $$ \Large \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \times \frac{\sqrt[n]{b^{n-1}}}{\sqrt[n]{b^{n-1}}} = \frac{a \cdot \sqrt[n]{b^{n-1}}}{b} $$
Ejemplo: $$ \Large \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \times \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{4}}{2} $$
Caso 2: Binomio con raíz de índice nn en el denominador
Si el denominador es un binomio de la forma \(a + \sqrt[n]{b}\), se multiplica por el conjugado racionalizante, que depende del tipo de raíz.
Por ejemplo, si el denominador es \(a + \sqrt[3]{b}\), se multiplica por: $$ \Large a^2 – a \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} $$
de modo que al expandir el producto se obtiene un término sin radicales en el denominador.
3. Aplicaciones de la Racionalización
- Facilita la simplificación de expresiones algebraicas.
- Es útil en límites y derivadas en cálculo.
- Aparece en problemas de física e ingeniería donde se requiere manipular expresiones con radicales.
