La geometría analítica permite representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas. En este artículo, abordaremos la representación matemática de puntos, rectas y planos en el espacio.
1. Representación de un Punto
Un punto en el espacio se representa mediante un conjunto de coordenadas en un sistema cartesiano:
- En dos dimensiones (2D): $$ \Large P(x, y) $$
- En tres dimensiones (3D): $$ \Large P(x, y, z) $$
Ejemplo: El punto \(A(3, -2, 5)\) se encuentra en el espacio tridimensional con coordenadas \(x = 3\), \(y = -2\) y \(z = 5\).
2. Ecuación de la Recta
Una recta en el plano o en el espacio tridimensional puede expresarse en diferentes formas matemáticas.
2.1. Ecuación de la Recta en el Plano (2D)
La ecuación general de una recta en dos dimensiones es: $$ \Large Ax + By + C = 0 $$
Otra forma común es la ecuación explícita o pendiente-intersección: $$ \Largey = mx + b $$
donde:
- \(m\) es la pendiente de la recta, calculada como \(m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\).
- \(b\) es la intersección con el eje \(y\).
Ejemplo: La recta que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((3,6)\) tiene pendiente: $$ \Large m = \frac{6 – 2}{3 – 1} = 2 $$
Por lo tanto, la ecuación es: $$ \Large y = 2x $$
2.2. Ecuación de la Recta en el Espacio (3D)
En el espacio tridimensional, una recta puede expresarse mediante ecuaciones paramétricas: $$ \Large x = x_0 + \lambda a, \quad y = y_0 + \lambda b, \quad z = z_0 + \lambda c $$
donde:
- \((x_0, y_0, z_0)\) es un punto en la recta.
- \((a, b, c)\) es un vector director de la recta.
- \(\lambda\) es un parámetro real.
También se puede escribir en su forma simétrica: $$ \Large \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$$
Ejemplo: La recta que pasa por \( A(1,2,3)\) con dirección \(\vec{v} = (2, -1, 3)\) se expresa como: $$ \Largex = 1 + 2\lambda, \quad y = 2 – \lambda, \quad z = 3 + 3\lambda $$
3. Ecuación del Plano
Un plano en el espacio tridimensional se define mediante la ecuación: $$ \Large Ax + By + Cz + D = 0 $$
donde \((A, B, C)\) es un vector normal al plano.
3.1. Plano que Pasa por Tres Puntos
Dado tres puntos \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\) y \(C(x_3, y_3, z_3)\), podemos encontrar la ecuación del plano hallando un vector normal con el producto cruz.
El vector normal es: $$ \Large \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} $$
Luego, sustituimos en la ecuación del plano.
Ejemplo: Para los puntos \(A(1,2,3)\), \(B(4,5,6)\) y \(C(7,8,9)\), calculamos: $$ \Large \overrightarrow{AB} = (3,3,3), \quad \overrightarrow{AC} = (6,6,6) $$
El producto cruz de estos vectores es nulo, lo que indica que los tres puntos son colineales y no definen un plano.
Para puntos no colineales, el procedimiento es similar, resultando en una ecuación del tipo: $$ \Large 2x – 3y + 5z – 7 = 0 $$
4. Posiciones Relativas
4.1. Recta y Plano
- Si una recta está contenida en un plano, sus ecuaciones se satisfacen simultáneamente.
- Si una recta es paralela a un plano, su vector director es ortogonal al vector normal del plano.
- Si una recta intersecta un plano, sustituimos sus ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano y resolvemos para \(\lambda\).
4.2. Intersección de Dos Planos
Dos planos pueden ser:
- Paralelos (\(A_1B_2 – A_2B_1 = 0\) y \(A_1C_2 – A_2C_1 = 0\)).
- Coincidentes (\(D_1 = D_2\) en ecuaciones proporcionales).
- Intersectarse en una recta.
Para hallar la intersección, resolvemos el sistema de ecuaciones de ambos planos.
Conclusión
La geometría analítica nos permite describir puntos, rectas y planos mediante ecuaciones algebraicas. Estas herramientas son esenciales en cálculo, física, computación gráfica y modelado 3D.