Definición y Propiedades
En matemáticas, una progresión geométrica (PG) es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón. Este concepto es fundamental en el estudio de progresiones y series dentro del área de Aritmética. A continuación, exploramos sus propiedades, fórmulas y aplicaciones.
1. Definición de Progresión Geométrica
Una sucesión \(\{a_n\}\) es una progresión geométrica si existe una constante \(r\), llamada razón, tal que:
$$ \Huge a_{n+1} = a_n \cdot r $$
para todo \(n \geq 1\).
Ejemplo: La sucesión \(3, 6, 12, 24, 48, \dots \) es una progresión geométrica con \(a_1 = 3\) y razón \(r = 2\).
2. Fórmula del Término General
El término general de una progresión geométrica con primer término \(a_1\) y razón \(r\) está dado por:
$$ \Huge a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} $$
Esta ecuación permite encontrar cualquier término de la progresión sin necesidad de listar todos los anteriores.
3. Suma de los Primeros \(n\) Términos
La suma de los primeros \(n\) términos de una progresión geométrica se calcula con:
$$ \Huge S_n = a_1 \frac{1 – r^n}{1 – r}, \quad \text{si } r \neq 1 $$
Ejemplo: Para la progresión \(3, 6, 12, 24, 48\), la suma de los primeros \(5\) términos es:
$$ \huge S_5 = 3 \frac{1 – 2^5}{1 – 2} = 3 \frac{1 – 32}{-1} = 3(31) = 93 $$
4. Suma de una Progresión Geométrica Infinita
Si \(|r| < 1\), la suma de una progresión geométrica infinita se calcula con:
$$ \huge S = \frac{a_1}{1 – r} $$
Ejemplo: Si \(a_1 = 5\) y \(r = \frac{1}{2}\), la suma infinita es:
$$ \huge S = \frac{5}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10 $$
5. Aplicaciones de la Progresión Geométrica
Las progresiones geométricas aparecen en diversas áreas, incluyendo:
- Crecimiento y decrecimiento exponencial en biología y economía.
- Modelos de interés compuesto en finanzas.
- Codificación y compresión de datos en informática.
6. Conclusión
El estudio de la progresión geométrica es esencial para comprender fenómenos de crecimiento exponencial y su aplicación en diversas disciplinas. Dominar sus fórmulas permite resolver problemas de manera eficiente y estructurada.
