Potenciación

Potenciación en Operaciones Fundamentales de la Aritmética

La potenciación es una de las operaciones fundamentales de la aritmética. Se usa para expresar la multiplicación repetitiva de un número por sí mismo, facilitando cálculos y representaciones matemáticas.

Definición de Potenciación

La potenciación es una operación que se representa como: $$ \huge a^n $$ donde:

  • \(a\) es la base, el número que se multiplica.
  • \(n\) es el exponente, el número de veces que la base se multiplica por sí misma.

Por ejemplo: \( \large 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \)

Propiedades de la Potenciación

  1. Producto de potencias con la misma base $$ \huge a^m \times a^n = a^{m+n} $$
  2. Cociente de potencias con la misma base $$ \huge \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
  3. Potencia de una potencia $$ \huge (a^m)^n = a^{m \times n} $$
  4. Potencia de un producto $$ \huge (a \times b)^n = a^n \times b^n $$
  5. Potencia de un cociente $$ \huge \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$
  6. Exponente cero $$ \huge a^0 = 1 \normalsize \text{ para cualquier } a \neq 0 $$
  7. Exponente negativo $$ \huge a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Casos Especiales

  • Potencia de base 1: $$ \huge 1^n = 1 \normalsize \text{ para cualquier exponente.} $$
  • Potencia de base 0: $$ \huge 0^n = 0 \normalsize \text{ si }n > 0 $$
  • Exponente fraccionario: $$ \huge a^{1/n} \normalsize \text{ representa la raíz n-ésima de }a $$

Ejemplos Aplicados

  1. 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125
  2. 2^4 \times 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128
  3. \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27
  4. (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64
  5. (4 \times 3)^2 = 4^2 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144

Conclusión

La potenciación es una operación clave en aritmética y matemáticas en general. Sus propiedades permiten simplificar cálculos y resolver problemas en diversos contextos numéricos.

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