Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por términos que incluyen variables elevadas a exponentes enteros no negativos y coeficientes numéricos. Operar con polinomios es fundamental en el álgebra y permite resolver ecuaciones y modelar diversas situaciones matemáticas.
1. Definición de un Polinomio
Un polinomio en una variable \(x\) se expresa como:
$$ \Large P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $$
donde \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) son coeficientes reales y \(n\) es el grado del polinomio, determinado por el mayor exponente de \(x\) con coeficiente distinto de cero.
2. Suma y Resta de Polinomios
La suma y la resta de polinomios se realizan combinando los términos semejantes, es decir, aquellos que tienen la misma variable con el mismo exponente.
Si tenemos:
$$ \Large P(x) = 3x^3 + 2x^2 – 5x + 4 $$
$$ \Large Q(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x – 2 $$
La suma es:
$$ \Large (P + Q)(x) = (3x^3 + 2x^2 – 5x + 4) + (-x^3 + 4x^2 + 3x – 2) $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ \Large (3x^3 – x^3) + (2x^2 + 4x^2) + (-5x + 3x) + (4 – 2) $$
$$ \Large 2x^3 + 6x^2 – 2x + 2 $$
Para la resta, simplemente se cambia el signo de los coeficientes del polinomio que se resta.
3. Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva:
$$ \Large (A \cdot B)(x) = A(x) \cdot B(x) $$
Ejemplo:Si \( P(x) = x + 2\) y \(Q(x) = x – 3\), entonces: $$ \Large (x + 2)(x – 3) = x^2 – 3x + 2x – 6 $$ $$ \Large = x^2 – x – 6 $$
4. División de Polinomios
La división de polinomios puede hacerse por división larga o por división sintética (cuando el divisor es un binomio de la forma \(x – r\)).
Ejemplo: Dividir \(P(x) = 2x^3 + 3x^2 – x + 5\) entre \(D(x) = x + 1\).
Se realiza la división larga y se obtiene: $$ \Large \frac{2x^3 + 3x^2 – x + 5}{x + 1} = 2x^2 + x – 2 + \frac{7}{x + 1} $$
El cociente es \(2x^2 + x – 2\) y el residuo es \(7\).
Conclusión
El dominio de las operaciones con polinomios es esencial en el álgebra básica, pues sienta las bases para la factorización, la resolución de ecuaciones y otros procesos matemáticos más avanzados.
