Números Reales

Números Reales en Aritmética Básica

Los números reales forman el conjunto más amplio de números que se utilizan en aritmética básica. Incluyen tanto los números racionales como los irracionales, lo que significa que abarcan fracciones, decimales finitos y periódicos, así como números no fraccionarios con decimales infinitos no periódicos.

Definición y Representación

El conjunto de los números reales se denota como R\mathbb{R} y está compuesto por:

1. Números naturales:
   $$ \Large
   \displaystyle \mathbb{N}=\left\{1,2,3,4,…\right\}
   $$
2. Números enteros:
   $$ \Large
   \mathbb{Z}=\left\{…,-2,-1,0,1,2,…\right\}
   $$
3. Números racionales:, que incluyen fracciones y decimales exactos o periódicos.
4. Números irracionales: Decimales infinitos no periódicos como
   $$ \Huge
   \pi \; \; \; \; e \; \; \; \; \sqrt{2}
   $$

Propiedades de los Números Reales

Los números reales tienen varias propiedades importantes:

1. Cerradura: Son cerrados bajo suma, resta, multiplicación y división (excepto la división entre cero).
2. Orden: Se pueden ordenar en la recta numérica.
3. Densidad: Entre dos números reales siempre hay otro número real.
4. Existencia de inversos:
   • Adición: Cada número tiene un opuesto .
   • Multiplicación: Cada número .

Propiedades de los Números Reales

Los números reales cumplen con diversas propiedades fundamentales que garantizan la consistencia de sus operaciones matemáticas:

• Propiedad de Cerradura: El conjunto de los números reales es cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (excepto la división entre cero). Es decir, si , entonces:
  • 
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• Propiedad de Orden: Los números reales están ordenados, lo que significa que para cualquier par de números y , se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
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  • 
• Propiedad de Densidad: Entre dos números reales siempre existe otro número real. Es decir, si y , entonces existe un número tal que .
• Existencia de Inversos:
  • Inverso aditivo: Para cada número real , existe un número opuesto tal que .
  • Inverso multiplicativo: Para cada número real , existe un número recíproco tal que .

• Propiedad Conmutativa: El orden de los números no altera el resultado en la suma y la multiplicación:
  • 
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• Propiedad Asociativa: La agrupación de los números no altera el resultado:
  • 
  • 
• Neutro Aditivo (el número 0)
  • Se dice que el número 0 es el elemento neutro de la suma porque cualquier número sumado con 0 sigue siendo el mismo número.
  • Es decir, para todo :
  • Ejemplo:
• Neutro Multiplicativo (el número 1)
  • Se dice que el número 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque cualquier número multiplicado por 1 sigue siendo el mismo número.
  • Es decir, para todo :
  • Ejemplo:

• Elemento Opuesto e Inverso: Cada número tiene un opuesto y un inverso:
  • (opuesto aditivo)
  • (inverso multiplicativo, excepto cuando )
• Propiedad Distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la suma:
  • 
• Propiedad Tricotómica: Para cualquier número real y , solo se cumple una de estas tres condiciones:
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• Propiedad de Densidad: Entre dos números reales siempre existe otro número real.

Orden y Representación en la Recta Numérica

Los números reales están ordenados, lo que significa que para cualquier par de números y , siempre se cumple que , o . Además, pueden representarse en la recta numérica, facilitando su visualización y comparación.

Operaciones con Números Reales

Las operaciones básicas con números reales siguen las mismas reglas que en el caso de los números racionales.

Suma y Resta

Para sumar o restar números reales, se operan los términos de manera convencional:

Ejemplo:

Multiplicación

La multiplicación de números reales sigue la propiedad distributiva:

Ejemplo:

División

La división de números reales es posible siempre que el divisor no sea cero:

Ejemplo:

Potencias y Raíces

• Las potencias se calculan elevando un número real a un exponente: (n veces) Ejemplo:
• Las raíces son la operación inversa de la potenciación: a\sqrt{a} es el número real que, elevado al cuadrado, da . Ejemplo: .

Representación en la Recta Numérica

Los números reales pueden representarse en una recta numérica continua, donde cualquier punto en la línea representa un número real, sin interrupciones ni huecos.

Aplicaciones de los Números Reales

Los números reales son fundamentales en:

• Física e ingeniería (medidas continuas, magnitudes).
• Estadística y economía (valores continuos, tasas de cambio).
• Geometría y trigonometría (longitudes, áreas, volúmenes).
• Álgebra y cálculo (límites, derivadas, integrales).