Los números racionales son uno de los conjuntos numéricos más importantes en matemáticas y forman una base esencial dentro del área de Aritmética Básica. Se definen como aquellos números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el denominador es distinto de cero. En este post, exploraremos qué son los números racionales, cómo se realizan operaciones con ellos y sus propiedades fundamentales.
¿Qué son los Números Racionales?
Un número racional es aquel que puede expresarse como una fracción de la forma: $$ \normalsize \frac{a}{b} $$
donde a y b son números enteros, y b no es igual a cero. El número a se llama numerador y el número b se llama denominador.
Por ejemplo, \(\frac{3}{4}\), \(\frac{-2}{5}\), y \(\frac{7}{1}\) son números racionales. Incluso los números enteros son considerados racionales, ya que pueden escribirse como una fracción con denominador igual a 1, como \(5 = \frac{5}{1}\).
Propiedades de los Números Racionales
Los números racionales tienen varias propiedades clave que facilitan las operaciones con ellos y su uso en matemáticas:
- Cerradura: La adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales da como resultado otro número racional. Es decir, si \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son dos números racionales, entonces:
$$ \normalsize \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} $$ $$ \normalsize \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$
- Orden: Los números racionales pueden ser ordenados. Si \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son números racionales, podemos decir que \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\) si y solo si:
$$ \Large ad > bc $$
- Propiedad distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la adición. Es decir:
$$ \Large a \times (b + c) = a \times b + a \times c $$
- Representación decimal: Los números racionales tienen una representación decimal que es finita o periódica. Por ejemplo, \(\frac{1}{2} = 0.5\) (decimal finito) y \(\frac{1}{3} = 0.\overline{3}\) (decimal periódico).
Operaciones con Números Racionales
Las operaciones con números racionales siguen reglas similares a las de los números enteros. A continuación, veremos las operaciones básicas con fracciones.
Adición de Números Racionales
Para sumar dos números racionales, debemos obtener un denominador común. Por ejemplo, para sumar \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{2}{3}\), debemos encontrar el denominador común: $$ \Large \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} $$
Sustracción de Números Racionales
La sustracción de fracciones se realiza de la misma manera que la adición, es decir, obteniendo un denominador común. Por ejemplo, para restar \(\frac{3}{4}\) y \(\frac{1}{2}\): $$ \Large \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $$
Multiplicación de Números Racionales
Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Por ejemplo, para multiplicar \(\frac{2}{3}\) y \(\frac{3}{5}\): $$ \Large \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $$
División de Números Racionales
La división de fracciones se realiza multiplicando por el inverso de la segunda fracción. Por ejemplo, para dividir \(\frac{4}{5}\) entre \(\frac{2}{3}\): $$ \Large \frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $$
Conclusión
Los números racionales son esenciales en el estudio de la aritmética básica y en matemáticas en general, ya que permiten realizar operaciones precisas con fracciones y entender la relación entre los números enteros y los números decimales. Comprender cómo operar con fracciones y sus propiedades es crucial para resolver problemas matemáticos en la vida cotidiana y en aplicaciones más avanzadas.
