En teoría de números, una clasificación fundamental de los números reales y complejos es la distinción entre números algebraicos y números trascendentes. Esta división es crucial para entender la estructura de los números y su relación con las ecuaciones polinómicas.
Números Algebraicos
Un número complejo \(\alpha\) se dice algebraico si es una raíz de un polinomio no nulo con coeficientes enteros, es decir, si existe un polinomio de la forma: $$ \huge P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $$
donde los coeficientes \(a_i\) son enteros (\(a_i \in \mathbb{Z}\)), con \(a_n \neq 0\), y \(P(\alpha) = 0\).
Por ejemplo:
- \(\sqrt{2}\) es algebraico porque satisface la ecuación \(x^2 – 2 = 0\).
- \(\frac{3}{4}\) es algebraico porque es raíz de \(4x – 3 = 0\).
Un número algebraico puede ser irracional (como \(\sqrt{2}\)) o racional (como \(\frac{3}{4}\)). Todos los números racionales son algebraicos, ya que cualquier número \(r = \frac{a}{b}\) con \(a, b \in \mathbb{Z}\), \(b \neq 0\), es raíz de \(bx – a = 0\).
Si un número es algebraico y no es solución de un polinomio de grado menor, se dice que es algebraico de grado \(n\), donde \(n\) es el menor grado del polinomio con coeficientes enteros que lo tiene como raíz.
Números Trascendentes
Un número que no es algebraico se llama trascendente. Es decir, un número complejo \(\tau\) es trascendente si no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
Ejemplos importantes de números trascendentes incluyen:
- \(\pi\) (el número pi)
- \(e\) (la base del logaritmo natural)
Estos números no pueden expresarse como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, lo que los distingue de los números algebraicos.
Propiedades y Diferencias Fundamentales
- Cierre bajo operaciones algebraicas:
- La suma, producto y división de números algebraicos pueden seguir siendo algebraicos, salvo excepciones.
- Si \(\alpha\) es algebraico y \(\beta\) trascendente, entonces \(\alpha + \beta\) y \(\alpha \beta\) pueden ser trascendentes o algebraicos dependiendo de los valores específicos.
- Cardinalidad:
- Los números algebraicos son enumerables.
- Los números trascendentes son no numerables, lo que implica que «la mayoría» de los números reales son trascendentes.
- Ejemplos de relaciones:
- Si \(a\) es algebraico distinto de \(0\) y \(1\), y \(b\) es irracional algebraico, entonces \(a^b\) puede ser trascendente (ejemplo: el teorema de Gelfond-Schneider).
Aplicaciones de los Números Trascendentes
- Teoría de la Aproximación Diofantina: Se estudia cuán bien los números trascendentes pueden aproximarse por números racionales.
- Criptografía y Algoritmos Computacionales: Algunos algoritmos criptográficos usan propiedades de los números algebraicos y trascendentes en sus cálculos.
- Análisis Complejo y Funciones Especiales: Muchas funciones trascendentales, como \(e^x\) y \(\ln x\), tienen aplicaciones fundamentales en matemáticas avanzadas.
Conclusión
La distinción entre números algebraicos y trascendentes es fundamental en teoría de números y análisis matemático. Mientras que los números algebraicos son soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, los trascendentes representan una categoría más extensa y compleja que escapa a esta definición.
