La descomposición en factores primos es la representación de un número entero como un producto de números primos. Existen varios métodos para realizar este proceso, cada uno con sus ventajas dependiendo del contexto y del número a factorizar.
Métodos de Descomposición
1. Método de Divisiones Sucesivas
Este es el método más utilizado y consiste en dividir el número sucesivamente por sus factores primos más pequeños.
Pasos:
- Dividir el número entre el menor número primo posible.
- Continuar dividiendo el cociente obtenido por números primos hasta llegar a 1.
- La factorización resulta del producto de los primos usados en las divisiones.
Ejemplo: Factorizar \(120\).
- \(120 \div 2 = 60\)
- \(60 \div 2 = 30\)
- \(30 \div 2 = 15\)
- \(15 \div 3 = 5\)
- \(5\) es primo.
Descomposición: $$ \Large 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 $$
2. Método del Árbol de Factores
Este método se basa en descomponer un número en dos factores hasta llegar a números primos.
Pasos:
- Escribir el número y encontrar dos factores.
- Seguir descomponiendo los factores hasta llegar a números primos.
- Multiplicar los primos obtenidos.
Ejemplo: Factorizar 72.
\begin{array}{l}
\quad \quad \qquad 72 \\
\quad \qquad / \qquad \quad \backslash \\
\qquad 8 \qquad \times \qquad 9 \\
\quad / \qquad \backslash \qquad \quad / \qquad \backslash \\
2 \quad \times \quad 4 \qquad 3 \quad \times \quad 3 \\
\quad \qquad / \quad \backslash \\
\qquad 2 \quad \times \quad 2
\end{array}
Descomposición: \(72 = 2^3 \cdot 3^2\)
3. Método de la Raíz Cuadrada
Este método es útil cuando se buscan factores primos de un número grande y se basa en verificar la divisibilidad por números primos hasta su raíz cuadrada.
Pasos:
- Determinar la raíz cuadrada aproximada del número.
- Probar divisibilidad con los primos menores o iguales a la raíz cuadrada.
- Si no se encuentran factores, el número es primo.
Ejemplo: Factorizar \(97\).
- La raíz cuadrada de \(97\) es aproximadamente \(9.8\).
- Los primos menores o iguales a \(9.8\) son \(2, 3, 5, 7\).
- \(97\) no es divisible por ninguno de ellos, por lo que es primo.
Propiedades de la Descomposición en Factores Primos
- Unicidad: Todo número tiene una única descomposición en factores primos (Teorema Fundamental de la Aritmética).
- Divisibilidad: Si \(a\) divide a \(b\), entonces los factores primos de \(a\) están en la factorización de \(b\).
- Uso en fracciones: Facilita la simplificación de fracciones al expresar numerador y denominador en sus factores primos.
- Aplicación en congruencias y teoría de números: Se usa en el cálculo del MCD y MCM.
Aplicaciones de la Descomposición en Factores Primos
- Cálculo del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM).
- Criptografía: Base de algoritmos como RSA.
- Pruebas de primalidad: Determinar si un número es primo o compuesto.
- Sistemas de numeración: Se usa en bases numéricas para descomponer números en factores simples.
- Resolución de ecuaciones diofánticas en teoría de números.