Máximo Común Divisor

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números enteros es el número más grande que divide exactamente a cada uno de esos números. Este concepto es fundamental en la teoría de números y tiene aplicaciones en áreas como la simplificación de fracciones y la resolución de problemas de divisibilidad.

Definición

El MCD de dos números aa y bb, denotado como \(\text{MCD}(a, b)\), es el mayor número entero que divide tanto a aa como a bb sin dejar residuo.

Por ejemplo, para los números \(12\) y \(18\): $$ \Large \text{MCD}(12, 18) = 6 $$

Propiedades del MCD

1. Propiedad conmutativa: El MCD no depende del orden de los números. \(\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, a)\)
2. Divisibilidad: El MCD de dos números es siempre un divisor común de ambos. Si \(d = \text{MCD}(a, b)\), entonces \(d\) divide a \(a\) y a \(b\).
3. MCD con 0: El MCD de cualquier número con 0 es el número mismo. \(\text{MCD}(a, 0) = |a|\)
4. MCD de varios números: El MCD de más de dos números es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados. \(\text{MCD}(a, b, c) = \text{MCD}(\text{MCD}(a, b), c)\)

Métodos para calcular el MCD

1. Descomposición en factores primos: Consiste en escribir cada número como un producto de factores primos y tomar los factores comunes con los menores exponentes. Ejemplo: Para \(12 = 2^2 \times 3\) y \(18 = 2 \times 3^2\), el MCD es \(2 \times 3 = 6\).
2. Algoritmo de Euclides: Este método se basa en la propiedad de que el MCD de dos números no cambia si sustituimos el mayor de los dos números por su diferencia con el menor. El algoritmo de Euclides se realiza de la siguiente manera:
   • Dividimos \(a\) entre \(b\), obteniendo el residuo \(r\).
   • Luego, sustituimos \(a\) por \(b\) y \(b\) por \(r\).
   
   
   • Repetimos el proceso hasta que el residuo sea 0. El último divisor no nulo es el MCD.
   Ejemplo para \(\text{MCD}(252, 105)\): $$ \Large 252 \div 105 = 2 \text{ (residuo 42)} \quad \Rightarrow \quad \text{MCD}(105, 42) $$ $$ \Large 105 \div 42 = 2 \text{ (residuo 21)} \quad \Rightarrow \quad \text{MCD}(42, 21) $$ $$ \Large 42 \div 21 = 2 \text{ (residuo 0)} \quad \Rightarrow \quad \text{MCD}(252, 105) = 21 $$
3. Algoritmo de la resta sucesiva: Similar al algoritmo de Euclides, pero en este caso en lugar de dividir, restamos el número menor del mayor repetidamente hasta que el residuo sea 0.

Aplicaciones del MCD

1. Simplificación de fracciones: Para simplificar una fracción, se divide tanto el numerador como el denominador por su MCD. Ejemplo: \(\frac{12}{18}\) se simplifica dividiendo el numerador y el denominador por \(\text{MCD}(12, 18) = 6\), resultando en \(\frac{2}{3}\).
2. Cálculo de la fracción más baja en problemas de proporciones: El MCD se usa para obtener la representación más simple de una fracción.
3. Solución de problemas de divisibilidad: El MCD es útil para determinar la mayor cantidad de divisores comunes de un conjunto de números.