El estudio del límite y la continuidad es fundamental en el cálculo diferencial e integral, ya que permite definir conceptos clave como la derivada y la integral. En este artículo, exploraremos las definiciones formales y propiedades esenciales de estos conceptos.
1. Definición de Límite
El límite de una función \(f(x)\) en un punto aa se denota como: $$ \Large \lim_{x \to a} f(x) = L $$
y significa que los valores de \(f(x)\) se acercan arbitrariamente a LL cuando \(x\) tiende a \(a\). La definición formal de límite, conocida como definición \(\epsilon-\delta\), establece que: \(\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \text{ tal que } 0 < |x – a| < \delta \Rightarrow |f(x) – L| < \epsilon\).
2. Propiedades de los Límites
Los límites poseen varias propiedades fundamentales, entre ellas:
- Linealidad: Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\) y \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = M\), entonces: $$ \Large \lim\limits_{x \to a} [c f(x)] = c L, \quad c \in \mathbb{R} $$ $$ \Large \lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M $$
- Producto y Cociente: $$ \Large \lim\limits_{x \to a} [f(x) g(x)] = LM, $$ $$ \Large \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad \text{si } M \neq 0. $$
- Límites Trigonométricos Fundamentales: $$ \Large \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x} = 0. $$
3. Definición de Continuidad
Una función \(f(x)\) es continua en un punto \(a\) si se cumplen tres condiciones:
- \(f(a)\) está definida.
- Existe el límite \(\lim\limits_{x \to a} f(x).\)
- \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a).\)
Si una función es continua en todo su dominio, se dice que es continua en su dominio de definición.
4. Tipos de Discontinuidad
Si una función no es continua en un punto, decimos que tiene una discontinuidad, que puede clasificarse en:
- Evitables: Si el límite existe pero no coincide con \(f(a)\).
- De salto: Si existen límites laterales distintos.
- Infinitas: Si el límite tiende a infinito.
5. Teoremas Fundamentales de la Continuidad
Algunas propiedades importantes incluyen:
- Teorema del Valor Intermedio: Si \(f(x)\) es continua en \([a,b]\) y \(f(a) \neq f(b)\), entonces toma todos los valores intermedios entre \(f(a)\) y \(f(b)\).
- Teorema de Weierstrass: Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su mínimo y su máximo absoluto en ese intervalo.
Conclusión
El estudio del límite y la continuidad proporciona herramientas esenciales para la comprensión y aplicación del cálculo. Estos conceptos permiten desarrollar la diferenciación e integración, fundamentales en múltiples áreas de las matemáticas y ciencias aplicadas.
