La Teoría de Galois es una herramienta fundamental en el Álgebra Abstracta que permite estudiar extensiones de cuerpos y la solubilidad de ecuaciones polinómicas mediante grupos de automorfismos. En este artículo, exploraremos sus conceptos esenciales y principales resultados.
Extensiones de Cuerpos
Sea \(F\) un cuerpo y \(E\) una extensión de \(F\). Se dice que \(E/F\) es una extensión algebraica si cada elemento de \(E\) es raíz de algún polinomio no nulo en \(F[x]\).
Una extensión \(E/F\) se llama normal si es el cuerpo de descomposición de un polinomio en \(F[x]\), es decir, si contiene todas sus raíces. Además, se dice que \(E/F\) es separable si cada elemento de \(E\) es raíz de un polinomio separable en \(F[x]\), es decir, sin raíces repetidas.
Cuando una extensión es a la vez normal y separable, se denomina extensión de Galois. Matemáticamente, $$ \Large E/F \text{ es de Galois} \iff [E:F] = | \text{Gal}(E/F) | $$
donde \(\text{Gal}(E/F)\) es el grupo de Galois de la extensión, el conjunto de automorfismos de \(E\) que fijan \(F\).
Grupo de Galois
El grupo de Galois \(\text{Gal}(E/F)\) es un subgrupo del grupo de permutaciones de las raíces de los polinomios en \(F[x]\). Para un polinomio irreducible \(f(x)\) sobre \(F\) con raíces en \(E\), el grupo de Galois actúa transitivamente sobre estas raíces.
Ejemplo: Sea \(f(x) = x^2 – 2\) sobre \(\mathbb{Q}\). Su cuerpo de descomposición es \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), y su grupo de Galois es $$ \Large \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) = \{ \text{id}, \sigma \} $$
donde \(\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\), mostrando que es de orden \(2\).
Teorema Fundamental de la Teoría de Galois
Sea \(E/F\) una extensión de Galois con grupo de Galois \(G = \text{Gal}(E/F)\). Entonces existe una correspondencia biyectiva entre:
- Subcuerpos de \(E\) que contienen \(F\).
- Subgrupos de \(G\).
Si \(H \subseteq G\) es un subgrupo, el cuerpo fijo por \(H\) es $$ \Large E^H = \{ a \in E \mid \sigma(a) = a, \forall \sigma \in H \} $$.
Esta correspondencia permite analizar ecuaciones algebraicas mediante grupos, estableciendo el vínculo fundamental entre teoría de cuerpos y teoría de grupos.
Solubilidad por Radicales
Un polinomio \(f(x)\) en \(F[x]\) es soluble por radicales si sus raíces pueden expresarse en términos de sumas, productos y raíces en algún cuerpo de extensión de \(F\).
Un resultado clave de la Teoría de Galois es que un polinomio de grado \(n\) es soluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es un grupo resoluble, es decir, tiene una serie normal de subgrupos abelianos.
Ejemplo: El polinomio \(x^5 – 2 = 0\) sobre \(\mathbb{Q}\) tiene grupo de Galois \(S_5\), que no es resoluble. Por lo tanto, no es soluble por radicales, explicando por qué no existe una fórmula general de raíces para polinomios de grado \(\geq 5\).
Conclusión
La Teoría de Galois permite estudiar estructuras algebraicas a través de grupos de simetrías. Sus aplicaciones incluyen la demostración de la imposibilidad de resolver ecuaciones generales de grado cinco por radicales y el estudio de cuerpos finitos.
