Homología y Cohomología en Topología Algebraica
La homología y la cohomología son herramientas fundamentales en la topología algebraica para estudiar las propiedades invariantes de los espacios topológicos. Se utilizan para analizar la estructura de los espacios mediante grupos algebraicos que codifican información sobre ciclos, agujeros y conectividad.
1. Introducción a la Homología
El objetivo de la homología es asignar a cada espacio topológico una sucesión de grupos abelianos \(H_n(X)\), llamados grupos de homología, que describen la estructura de \(X\) en términos de agujeros de distintas dimensiones.
Complejo de cadenas
Dado un espacio topológico \(X\), consideramos un complejo de cadenas $$ \large \cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \to \cdots \to C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0 $$
donde cada \(C_n\) es un grupo abeliano (o un módulo) generado por los \(n\)-símplices de \(X\), y los operadores \(\partial_n: C_n \to C_{n-1}\) son los operadores de borde que describen cómo los \(n\)-símplices delimitan (n−1)(n-1)-símplices.
Los ciclos son elementos en el núcleo de ∂n\partial_n, es decir, Zn=ker(∂n),Z_n = \ker(\partial_n),
y los bordes son imágenes de ∂n+1\partial_{n+1}, es decir, Bn=im(∂n+1).B_n = \operatorname{im}(\partial_{n+1}).
El grupo de homología de dimensión \(n\) se define como el cociente \(H_n(X) = Z_n / B_n.\)
2. Interpretación Geométrica de la Homología
Cada grupo de homología \(H_n(X)\) describe los \(n-agujeros\) del espacio:
- \(H_0(X)\) mide la cantidad de componentes conexas.
- \(H_1(X)\) representa los ciclos cerrados no contráctiles, como los agujeros en un toro.
- \(H_2(X)\) describe cavidades tridimensionales cerradas, como el interior de una esfera hueca.
3. Introducción a la Cohomología
Mientras que la homología estudia ciclos y agujeros, la cohomología proporciona una forma dual de analizar la estructura de XX.
Cohomología de grupos de cadenas duales
Dado un complejo de cadenas \( \cdots \to C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \to \cdots \)
se define el complejo de co-cadenas aplicando el dual \( \operatorname{Hom}(-, R)\): \(\cdots \to C^{n-1} \xrightarrow{\delta^{n-1}} C^n \xrightarrow{\delta^n} C^{n+1} \to \cdots \)
donde \( C^n = \operatorname{Hom}(C_n, R) \) y los operadores \( \delta^n: C^n \to C^{n+1} \) cumplen \( \delta^{n+1} \circ \delta^n = 0. \)
Los co-ciclos son elementos en \( Z^n = \ker(\delta^n) \), y los co-bordes son \( B^n = \operatorname{im}(\delta^{n-1}). \)
El grupo de cohomología se define como \(H^n(X) = Z^n / B^n. \)
4. Relación entre Homología y Cohomología
La cohomología tiene una estructura algebraica más rica debido a la existencia del producto cup, que define un anillo sobre los grupos de cohomología: $$ \Large H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). $$
Esto permite capturar más información sobre la interacción entre distintas dimensiones topológicas.
5. Aplicaciones de Homología y Cohomología
- Clasificación de espacios topológicos mediante invariantes algebraicos.
- Aplicaciones en física matemática, especialmente en teoría de cuerdas y relatividad.
- Cálculo de características de Euler y teoría de obstrucciones en variedades diferenciables.
6. Conclusión
La homología y la cohomología son herramientas esenciales en topología algebraica, proporcionando información estructural profunda sobre espacios topológicos. Mientras que la homología describe agujeros y ciclos, la cohomología introduce una estructura dual más flexible y rica en aplicaciones matemáticas.