La Geometría Elíptica es una rama de la Geometría No Euclidiana que explora los principios de la geometría en superficies cerradas de curvatura positiva, tales como la esfera. A diferencia de la Geometría Euclidiana, donde se asume que el espacio es plano y las líneas paralelas nunca se cruzan, en la geometría elíptica no existen líneas paralelas, ya que todas las «líneas» (en este caso, las geodésicas) se encuentran en algún punto del espacio.
1. Concepto de Geometría Elíptica
En la geometría elíptica, se trabaja sobre superficies cerradas y sin fronteras, como una esfera, en la que se asume que los «puntos en el infinito» son finitos, es decir, que todas las líneas rectas se encuentran eventualmente, un fenómeno totalmente contrario a lo que ocurre en la geometría euclidiana.
Las geodésicas en geometría elíptica son curvas que representan el equivalente a las rectas en geometría euclidiana, pero en la esfera, las geodésicas son segmentos de círculos máximos. Esto se debe a la curvatura positiva de la superficie sobre la que se trabaja.
La diferencia entre la geometría elíptica y la euclidiana se expresa a través de la curvatura de la superficie. En la geometría elíptica, la curvatura es positiva, mientras que en la geometría euclidiana, la curvatura es cero.
2. Geometría sobre la Esfera: Modelos de Representación
La geometría elíptica se puede visualizar utilizando la esfera como modelo. En este contexto, las geodésicas sobre la esfera son los grandes círculos, es decir, aquellos círculos cuyo centro coincide con el centro de la esfera.
Por ejemplo, las líneas de latitud de la Tierra no son geodésicas (excepto la ecuador), pero los meridianos son, ya que son segmentos de grandes círculos que conectan los polos de la esfera.
La distancia entre dos puntos \(A\) y \(B\) sobre la esfera se puede calcular a partir del ángulo \(\theta\) entre ellos en el centro de la esfera. La fórmula es la siguiente: $$ \Large d(A, B) = r \cdot \theta $$
donde \(r\) es el radio de la esfera y \(\theta\) es el ángulo central entre los puntos \(A\) y \(B\) en radianes.
3. Propiedades de Triángulos en Geometría Elíptica
Una de las propiedades más fascinantes de los triángulos en geometría elíptica es que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre mayor que 180 grados. Esto se debe a la curvatura positiva de la superficie. Mientras que en la geometría euclidiana la suma es siempre 180 grados, en la geometría elíptica, los triángulos pueden tener una suma de ángulos de hasta 540 grados, dependiendo de la cantidad de curvatura.
La fórmula para el área \(A\) de un triángulo es el siguiente: $$ \Large A = \pi – (\alpha + \beta + \gamma) $$
donde \(\alpha\), \(\beta\), y \(\gamma\) son los ángulos internos del triángulo. Esta ecuación refleja que el área de un triángulo elíptico es directamente proporcional al exceso sobre los 180 grados de la suma de sus ángulos.
4. Geometría Elíptica y Curvatura Positiva
La curvatura positiva de la superficie en la geometría elíptica significa que los ángulos internos de los triángulos se comportan de una manera distinta a la que estamos acostumbrados en la geometría plana. La curvatura afecta no solo a los ángulos y las líneas, sino también a las distancias y a la forma en que las figuras se representan.
Para la esfera, la curvatura \(K\) es positiva y se puede describir usando la fórmula de curvatura: $$ \Large K = \frac{1}{r^2} $$
donde rr es el radio de la esfera. Esta curvatura positiva es lo que distingue a la geometría elíptica de otras geometrías, como la hiperbólica (curvatura negativa) o la euclidiana (curvatura cero).
5. Aplicaciones de la Geometría Elíptica
La geometría elíptica tiene aplicaciones en varios campos, como la astronomía, el diseño de mapas, y la teoría de la relatividad general. Por ejemplo, los modelos astronómicos del universo pueden basarse en la geometría elíptica, ya que se asume que el universo es cerrado y, por lo tanto, tiene una curvatura positiva.
Además, el estudio de los sistemas de coordenadas esféricas también tiene su base en la geometría elíptica, que se utiliza para modelar la superficie de la Tierra y otros cuerpos celestes.
6. Conclusión
La Geometría Elíptica es un área fascinante de la geometría no euclidiana que desafía nuestras intuiciones de cómo funcionan las figuras en el espacio. Con su curvatura positiva y la ausencia de paralelismo, ofrece una forma completamente diferente de concebir la geometría. A través de modelos como la esfera, la geometría elíptica proporciona una base matemática importante para entender tanto fenómenos astronómicos como aplicaciones en la física moderna.