En Geometría Diferencial, una variedad diferenciable es un espacio que localmente se comporta como \(\mathbb{R}^n\), pero puede tener una estructura global más compleja. Su estudio permite extender conceptos del cálculo diferencial a espacios curvos y más generales, con aplicaciones en física teórica, relatividad general y mecánica diferencial.
1. Definición de Variedad Diferenciable
Una variedad diferenciable de dimensión nn es un espacio topológico MM donde cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un abierto de \(\mathbb{R}^n\). Se define formalmente como un par \((M, \mathcal{A})\), donde \(\mathcal{A}\) es un atlas que consiste en cartas coordenadas \((U, \varphi)\), con: $$ \Large \varphi: U \to \mathbb{R}^n $$
siendo \(\varphi\) un homeomorfismo.
1.1. Funciones Diferenciables en una Variedad
Se dice que una función \(f: M \to \mathbb{R}\) es diferenciable si, en cada carta \((U, \varphi)\), la composición \( f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)
es diferenciable en el sentido clásico.
2. Espacio Tangente y Aplicación Diferencial
El espacio tangente TpMT_p M en un punto pp de la variedad es el conjunto de derivaciones en ese punto. Para una curva γ(t)\gamma(t) con γ(0)=p\gamma(0) = p, un vector tangente se define como: $$ \Large v = \left. \frac{d}{dt} (\varphi \circ \gamma)(t) \right|_{t=0} $$
La diferencial de una función \(f: M \to \mathbb{R}\) en un punto \(p\) es el mapa lineal: $$ \Large df_p: T_p M \to \mathbb{R} $$
definido por \( df_p(v) = v(f) \)
3. Métricas Riemannianas y Geometría Intrínseca
Una métrica Riemanniana en \(M\) es un campo tensorial simétrico positivo definido como: $$ \Large g_p: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R} $$
que permite medir longitudes y ángulos en la variedad. En coordenadas locales, se representa como la matriz métrica \(g_{ij}\): $$ \Large ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j $$
donde \(g_{ij} = g(\partial_i, \partial_j)\).
4. Conexión de Levi-Civita y Geodésicas
Para definir derivadas en una variedad, se introduce la conexión de Levi-Civita, que es la única conexión compatible con la métrica y sin torsión. Los símbolos de Christoffel \(\Gamma^k_{ij}\) están dados por: $$ \Large \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} – \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right) $$
Las geodésicas, que son las trayectorias de menor distancia en \(M\), satisfacen la ecuación diferencial: $$ \Large \frac{d^2 x^k}{ds^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds} = 0 $$
5. Curvatura de una Variedad
La curvatura de Riemann mide cómo cambia un vector transportado paralelamente a lo largo de un lazo en la variedad. Se define como: $$ \Large R^l_{ijk} = \frac{\partial \Gamma^l_{ij}}{\partial x^k} – \frac{\partial \Gamma^l_{ik}}{\partial x^j} + \Gamma^m_{ij} \Gamma^l_{mk} – \Gamma^m_{ik} \Gamma^l_{mj} $$
A partir de \(R^l_{ijk}\), se definen:
- Tensor de Ricci: $$ \Large R_{ij} = R^k_{ikj} $$
- Escalar de curvatura: $$ \Large R = g^{ij} R_{ij} $$
La curvatura de Ricci y el escalar de curvatura juegan un papel fundamental en ecuaciones como las de Einstein en Relatividad General.
Conclusión
La Geometría de Variedades es una extensión natural de la geometría euclidiana a espacios curvos, proporcionando un marco poderoso para el análisis diferencial en espacios abstractos. Su estudio es esencial en matemáticas puras y en aplicaciones como la física matemática y la teoría de la relatividad.