La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante el uso de un sistema de coordenadas y herramientas algebraicas. Su enfoque permite representar puntos, rectas, curvas y superficies en el plano y el espacio, facilitando su análisis y resolución de problemas matemáticos.
1. Sistema de Coordenadas Cartesiano
En el plano, cualquier punto se representa mediante un par ordenado \((x, y)\) en un sistema de coordenadas cartesiano, donde:
- El eje \(x\) representa la dirección horizontal.
- El eje \(y\) representa la dirección vertical.
La distancia entre dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) está dada por la fórmula de la distancia: $$ \Large d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $$
El punto medio entre \(A\) y \(B\) es: $$ \Large M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$
2. La Recta en el Plano
La ecuación de la recta en su forma general es: $$ \Large Ax + By + C = 0 $$
O en su forma pendiente-intersección: $$ \Large y = mx + b $$
donde:
- \(m\) es la pendiente, dada por: $$ \Large m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
- \(b\) es la intersección con el eje \(y\).
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).
3. Cónicas: Circunferencia, Parábola, Elipse e Hipérbola
Las cónicas son curvas obtenidas al intersectar un cono con un plano. Sus ecuaciones generales son:
- Circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\): \((x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2\)
- Parábola con vértice en \((h, k)\) y eje paralelo al eje \(y\): \((x – h)^2 = 4p(y – k)\)
- Elipse con centro \((h, k)\): \(\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1\)
- Hipérbola con centro \((h, k)\): \(\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1\)
Conclusión
La geometría analítica permite analizar y resolver problemas geométricos utilizando herramientas algebraicas. Su aplicación es fundamental en matemáticas, física, ingeniería y ciencias computacionales.