Funciones y Gráficos en Preliminares y Fundamentos

En matemáticas, una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del conjunto de partida se le asigna un único elemento del conjunto de llegada. En este artículo, exploramos los conceptos fundamentales de funciones y sus representaciones gráficas.

Definición de Función

Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento \(x\) de un conjunto \(A\) un único elemento \(y\) de un conjunto \(B\), expresado como: $$ \Large f: A \to B, \quad y = f(x) $$

donde:

• \(A\) es el dominio de la función.
• \(B\) es el codominio.
• \(f(x)\) representa la imagen de \(x\).

Tipos de Funciones

Las funciones pueden clasificarse de diversas formas:

1. Funciones algebraicas: Se expresan mediante operaciones algebraicas. Ejemplo: \(f(x) = 2x + 3\)
2. Funciones polinómicas: Son expresiones de la forma: \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\)
3. Funciones racionales: Expresadas como cociente de polinomios: \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, \quad q(x) \neq 0\)
4. Funciones trigonométricas: Basadas en razones trigonométricas como: \(f(x) = \sin x, \quad f(x) = \cos x, \quad f(x) = \tan x\)
5. Funciones exponenciales y logarítmicas: \(f(x) = a^x, \quad f(x) = \log_a x\)

Representación Gráfica

El gráfico de una función es la colección de puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano. Algunas propiedades importantes incluyen:

• Intersecciones con los ejes:
  • El punto de intersección con el eje \(x\) se obtiene resolviendo \(f(x) = 0\).
  • El punto de intersección con el eje \(y\) se encuentra evaluando \(f(0)\).
• Crecimiento y decrecimiento:
  • Una función es creciente si \( f(x_1) < f(x_2)\) para \(x_1 < x_2\).
  • Es decreciente si \(f(x_1) > f(x_2)\) para \(x_1 < x_2\).
• Máximos y mínimos: Se encuentran derivando \(f(x)\) y resolviendo \(f'(x) = 0\).

Función Lineal y Cuadrática

• Función Lineal: De la forma \(f(x) = mx + b\), donde:
  • \(m\) es la pendiente.
  • \(b\) es la ordenada en el origen.

• Función Cuadrática: Representada por: $$ \Large f(x) = ax^2 + bx + c $$ Su gráfica es una parábola cuya concavidad depende del signo de \(a\).

Conclusión

El estudio de funciones y sus gráficos es fundamental en geometría y cálculo, ya que permite modelar fenómenos del mundo real y resolver problemas matemáticos de diversas áreas.