Las funciones racionales y radicales son expresiones algebraicas fundamentales en el estudio de las funciones y gráficas. Estas funciones presentan comportamientos característicos que dependen de su estructura algebraica.
1. Funciones Racionales
Una función racional es aquella que se expresa como el cociente de dos polinomios: f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios y \(Q(x) \neq 0\).
1.1. Dominio de una Función Racional
El dominio de una función racional está determinado por los valores de \(x\) que hacen que el denominador sea cero, ya que en estos puntos la función no está definida.
Ejemplo 1:
Para \(f(x) = \frac{x+2}{x-3}\), el denominador se anula en \(x = 3\), por lo que el dominio es: $$ \Large D = \mathbb{R} \setminus \{3\} $$
1.2. Asintotas de una Función Racional
Las funciones racionales pueden presentar tres tipos de asíntotas:
- Asíntotas verticales: Se encuentran en los valores que anulan el denominador.
- Asíntotas horizontales: Se determinan analizando el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \to \pm\infty \).
- Asíntotas oblicuas: Ocurren cuando el grado de \(P(x)\) es exactamente uno mayor que el de \(Q(x)\).
Ejemplo 2:
Para \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\):
- La asíntota vertical está en \(x = -1\).
- Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, no hay asíntota horizontal, pero sí una oblicua dada por la división \(x^2 \div (x+1)\).
2. Funciones Radicales
Una función radical es aquella que involucra raíces de la variable independiente xx: $$ \Large f(x) = \sqrt[n]{P(x)} $$
donde \(P(x)\) es un polinomio y \(n\) es el índice de la raíz.
2.1. Dominio de una Función Radical
El dominio de una función radical depende de \(n\):
- Si \(n\) es impar, la raíz es válida para todo \(x \in \mathbb{R}\).
- Si \(n\) es par, la expresión \(P(x)\) debe ser mayor o igual a cero para que la raíz esté definida en los reales.
Ejemplo 3:
Para \(f(x) = \sqrt{x – 4}\), el dominio es: $$ \Large x – 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 $$
2.2. Gráfica de Funciones Radicales
La gráfica de una función radical generalmente presenta una curva que parte de un punto y crece progresivamente.
Ejemplo 4:
Para \(f(x) = \sqrt{x}\), la gráfica es una curva que inicia en \((0,0)\) y crece a medida que \(x\) aumenta.
3. Comparación entre Funciones Racionales y Radicales
| Propiedad | Funciones Racionales | Funciones Radicales |
|---|---|---|
| Definición | Cociente de polinomios | Raíz de un polinomio |
| Dominio | Todos los valores excepto donde el denominador es cero | Depende del índice nn |
| Comportamiento | Puede tener asíntotas | Puede tener puntos de inicio o ser continua |
| Ejemplo | $$ \Large f(x) = \frac{1}{x-2} $$ | $$ \Large f(x) = \sqrt{x+1} $$ |
Conclusión
- Las funciones racionales están definidas como el cociente de dos polinomios y pueden presentar asíntotas.
- Las funciones radicales involucran raíces y su dominio depende del índice de la raíz.
- Ambas funciones presentan restricciones en su dominio y pueden exhibir comportamientos específicos en sus gráficas.
