Una función polinómica es una función de la forma $$ \Large f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $$
donde:
- \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0\) son coeficientes reales o complejos.
- \(n\) es un número entero no negativo llamado grado del polinomio.
- La variable \(x\) aparece con exponentes enteros no negativos.
El comportamiento de una función polinómica está determinado por su grado y coeficientes principales.
1. Clasificación de Funciones Polinómicas
Según su grado, una función polinómica puede clasificarse en:
- Constante (\(n = 0\)): \(f(x) = c\).
- Lineal (\(n = 1\)): \(f(x) = ax + b\).
- Cuadrática (\(n = 2\)): \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
- Cúbica (\(n = 3\)): \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).
- De mayor grado (\(n \geq 4\)): \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_0\).
2. Comportamiento Asintótico y Crecimiento
El comportamiento de la función para valores grandes de xx depende del término de mayor grado \(a_n x^n\):
- Si \(a_n > 0\) y \(n\) es par, la función crece en ambos extremos (\(\uparrow, \uparrow\)).
- Si \(a_n < 0\) y \(n\) es par, la función decrece en ambos extremos (\(\downarrow, \downarrow\)).
- Si \(a_n > 0\) y \(n\) es impar, la función crece en \(+\infty\) y decrece en \(-\infty\) (\(\downarrow, \uparrow\)).
- Si \(a_n < 0\) y \(n\) es impar, la función decrece en \(+\infty\) y crece en \(-\infty\) (\(\uparrow, \downarrow\)).
Ejemplo 1:
Para \(f(x) = x^4 – 3x^2 + 5\), el grado es par (\(n = 4\)) y el coeficiente principal es positivo (\(a_4 = 1\)), por lo que los extremos tienden a \(+\infty\).
3. Raíces de una Función Polinómica
Las raíces o ceros de la función son los valores de \(x\) que satisfacen: \(f(x) = 0\)
Para un polinomio de grado \(n\), existen como máximo \(n\) raíces reales o complejas.
Ejemplo 2:
Si \(f(x) = x^3 – 3x + 2\), encontramos las raíces factorizando: $$ \Large (x – 1)(x + 2)(x – 1) = 0 $$
Las raíces son \(x = 1\) (de multiplicidad 2) y \(x = -2\).
4. Punto de Intersección con el Eje \(y\)
La función polinómica corta el eje \(y\) en \(x = 0\): $$ \Large f(0) = a_0 $$
Este valor corresponde al término independiente.
Ejemplo 3:
Si \(f(x) = 2x^4 – 5x^2 + 3\), la intersección con el eje \(y\) es: $$ \Large f(0) = 3 $$
5. Derivadas y Puntos Críticos
La derivada de una función polinómica es otra función polinómica obtenida por la regla: $$ \Large \frac{d}{dx} [a_n x^n] = n a_n x^{n-1} $$
Los puntos críticos se encuentran resolviendo \(f′(x)=0f'(x) = 0\).
Ejemplo 4:
Si \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4\), entonces $$ \Large f'(x) = 3x^2 – 6x $$
Resolviendo \(3x^2 – 6x = 0\): $$ \Large 3x(x – 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 $$
Estos son puntos críticos donde la función puede tener un máximo o mínimo local.
6. Gráfica de una Función Polinómica
Para graficar una función polinómica:
- Determinar el grado y coeficiente principal para el comportamiento general.
- Encontrar las raíces resolviendo \(f(x) = 0\).
- Calcular el punto de intersección con \(y\) evaluando \(f(0)\).
- Determinar puntos críticos con la derivada.
- Evaluar algunos puntos adicionales para dar forma a la gráfica.
Conclusión
- Las funciones polinómicas son expresiones algebraicas de la forma \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_0\).
- El grado del polinomio determina el comportamiento en los extremos.
- Las raíces de la función son los valores de \(x\) donde \(f(x) = 0\).
- La derivada ayuda a encontrar puntos críticos y analizar el crecimiento o decrecimiento.
