Una función lineal es una función de la forma $$ \Large f(x) = mx + b $$
donde:
- \(m\) es la pendiente, que indica la inclinación de la recta.
- \(b\) es la ordenada al origen, que representa el punto donde la recta corta el eje \(y\).
Se llaman lineales porque su gráfica es una línea recta.
1. Pendiente de una Recta
La pendiente mm se define como la razón de cambio entre dos puntos de la función: $$ \Large m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
Si \(m > 0\), la función es creciente.
Si \(m < 0\), la función es decreciente.
Ejemplo 1:
Dada la función \(f(x) = 2x – 3\), la pendiente es \(m = 2\), lo que significa que por cada unidad que avanza \(x\), la función aumenta \(2\) unidades en \(y\).
2. Cálculo de la Ordenada al Origen
La ordenada al origen \(b\) indica el punto en el que la recta corta el eje \(y\), es decir, cuando \(x = 0\): $$ \Large f(0) = b $$
Ejemplo 2:
Para la función \( f(x) = -\frac{3}{4}x + 2 \), la ordenada al origen es \( b = 2 \), lo que significa que la recta pasa por el punto \( (0,2) \).
3. Representación Gráfica
Para graficar una función lineal:
- Ubicar la ordenada al origen \( (0,b) \).
- Usar la pendiente \(m\) para encontrar otro punto.
- Trazar la recta que pase por ambos puntos.
Ejemplo 3:
Para \( f(x) = \frac{1}{2}x – 4 \), tomamos:
- Ordenada al origen: \( (0,-4) \).
- Pendiente: \( \frac{1}{2} \), lo que implica que al avanzar \(2\) en \(x\) , sube \(1\) en \(y\).
- Otro punto: \((2,-3)\).
Al trazar la recta, obtenemos la representación gráfica.
4. Ecuación de la Recta con Dos Puntos
Si se conocen dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\), la ecuación se obtiene con: $$ \Large y – y_1 = m(x – x_1) $$
Ejemplo 4:
Dado \((1,2)\) y \((4,8)\):
- Calculamos la pendiente: $$ \Large m = \frac{8 – 2}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2 $$
- Sustituyendo en la ecuación: $$ \Large y – 2 = 2(x – 1) $$ $$ \Large y = 2x $$
La ecuación de la recta es \(y = 2x\).
5. Condición de Paralelismo y Perpendicularidad
Dos rectas son:
- Paralelas si tienen la misma pendiente.
- Perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\):
$$ \Large m_1 \cdot m_2 = -1 $$
Ejemplo 5:
Las rectas \( y = 3x + 1 \) y \( y = 3x – 4 \) son paralelas porque tienen la misma pendiente \( m = 3\).
Las rectas \( y = 2x + 5 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) son perpendiculares porque \( 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1 \).
Conclusión
- Las funciones lineales representan rectas en el plano cartesiano.
- La pendiente define la inclinación de la recta.
- La ordenada al origen indica el punto donde la recta cruza el eje \(y\).
- Para obtener la ecuación de la recta, se necesita un punto y la pendiente.
