Funciones Computables en Teoría de la Computabilidad
Definición
Una función computable es una función que puede ser calculada por un algoritmo finito, lo que equivale a ser computable por una Máquina de Turing. Formalmente, una función \(f: \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}\) es computable si existe una Máquina de Turing que, dada la codificación de la entrada, devuelve la salida correcta en un tiempo finito.
Clases de Funciones Computables
Las funciones computables se clasifican según distintos criterios:
- Funciones primitiva recursivas: Definidas recursivamente a partir de funciones básicas mediante composición y recursión primitiva. Ejemplo: \( f(x, y) = x + y \)
- Funciones recursivas generales: Extienden las primitivas recursivas agregando el operador de minimización μ\mu, lo que permite definir funciones parcialmente computables. Un ejemplo es la función Ackermann: \(A(0, y) = y+1\) \(A(x+1, 0) = A(x, 1)\) \(A(x+1, y+1) = A(x, A(x+1, y))\)
- Funciones parcialmente computables: Son aquellas para las cuales existe una Máquina de Turing que las calcula, pero que puede no detenerse para algunas entradas.
- Funciones computables totales: Son aquellas computables en todos sus dominios de definición.
Relación con Modelos de Computabilidad
Las funciones computables pueden ser caracterizadas mediante:
- Máquinas de Turing: Definiendo funciones mediante transiciones de estados y manipuleo de la cinta.
- Funciones recursivas: Usando operadores recursivos para definir funciones sobre los naturales.
- Lambda-cálculo: Donde las funciones computables pueden expresarse mediante abstracciones y aplicaciones de funciones.
Problemas No Computables
Existen funciones no computables, es decir, problemas para los cuales ninguna Máquina de Turing puede dar una solución general. Ejemplo clásico:
- El problema de la parada, que consiste en determinar si una MT se detiene en una entrada dada, es indecidible.
Importancia en la Computabilidad
Las funciones computables son la base de la teoría de la computabilidad y permiten establecer los límites de lo que se puede calcular algorítmicamente. Esta teoría tiene aplicaciones en complejidad computacional, análisis de algoritmos y lógica matemática.