Funciones Aritméticas en Teoría de Números
Las funciones aritméticas son funciones definidas sobre los números enteros positivos y utilizadas en teoría de números para describir propiedades fundamentales de los números. Se clasifican en multiplicativas y aditivas, dependiendo de cómo interactúan con la multiplicación de números enteros.
1. Funciones Aritméticas Multiplicativas
Una función aritmética f(n)f(n) es multiplicativa si satisface la propiedad:
f(mn)=f(m)f(n)para gcd(m,n)=1.f(mn) = f(m) f(n) \quad \text{para } \gcd(m, n) = 1.
Algunos ejemplos importantes incluyen:
- Función Divisor d(n)d(n): Cuenta la cantidad de divisores positivos de nn: d(n)=∑d∣n1.d(n) = \sum_{d \mid n} 1.
- Función Sigma σk(n)\sigma_k(n): Suma de las potencias kk-ésimas de los divisores de nn: σk(n)=∑d∣ndk.\sigma_k(n) = \sum_{d \mid n} d^k.
- Función de Euler φ(n)\varphi(n): Cuenta la cantidad de enteros positivos menores que nn y coprimos con nn: φ(n)=n∏p∣n(1−1p),\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left( 1 – \frac{1}{p} \right), donde el producto es sobre todos los primos pp que dividen a nn.
- Función de Möbius μ(n)\mu(n): Se define como: 1, & \text{si } n=1, \\ (-1)^k, & \text{si } n \text{ es producto de } k \text{ primos distintos}, \\ 0, & \text{si } n \text{ tiene algún factor primo repetido}. \end{cases} \]
2. Funciones Aritméticas Aditivas
Una función f(n)f(n) es aditiva si satisface:
f(mn)=f(m)+f(n)para gcd(m,n)=1.f(mn) = f(m) + f(n) \quad \text{para } \gcd(m, n) = 1.
Ejemplo clave:
- Función de Conteo de Factores Primos Ω(n)\Omega(n): Cuenta el número total de factores primos (con multiplicidad) de nn: Ω(n)=∑pk∣∣nk.\Omega(n) = \sum_{p^k \mid \mid n} k.
- Función Pequeña de Conteo de Factores Primos ω(n)\omega(n): Cuenta el número de factores primos distintos de nn: ω(n)=∑p∣n1.\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1.
3. Propiedades y Relaciones
Existen relaciones fundamentales entre las funciones aritméticas, por ejemplo:
- Relación entre φ(n)\varphi(n) y d(n)d(n): ∑d∣nφ(d)=n.\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n.
- La función de Möbius μ(n)\mu(n) se usa para definir la inversión de Möbius, clave en teoría de números: f(n)=∑d∣ng(d)⟹g(n)=∑d∣nμ(d)f(n/d).f(n) = \sum_{d \mid n} g(d) \quad \Longrightarrow \quad g(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) f(n/d).
Conclusión
Las funciones aritméticas desempeñan un papel crucial en la teoría de números, permitiendo analizar la estructura de los enteros y resolver problemas en divisibilidad, criptografía y análisis numérico.
