En álgebra, una fracción algebraica es una expresión de la forma: $$ \Large \frac{P(x)}{Q(x)} $$
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios y \(Q(x) \neq 0\). Su estudio es fundamental en la manipulación de expresiones algebraicas y en la resolución de ecuaciones racionales.
1. Simplificación de Fracciones Algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan tanto el numerador como el denominador y se cancelan los factores comunes.
Ejemplo: $$ \Large \frac{x^2 – 9}{x^2 – 6x + 9} $$
Paso 1: Factorizar ambos términos. $$\Large \frac{(x – 3)(x + 3)}{(x – 3)(x – 3)} $$
Paso 2: Cancelar el factor común \((x – 3)\). $$\Large \frac{x + 3}{x – 3}, \quad x \neq 3 $$
2. Operaciones con Fracciones Algebraicas
a) Suma y Resta
Para sumar o restar fracciones algebraicas, se sigue el mismo procedimiento que con fracciones numéricas:
- Se busca un denominador común.
- Se convierten las fracciones a expresiones equivalentes con ese denominador.
- Se suman o restan los numeradores.
Ejemplo: $$\Large \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} $$
El mínimo común denominador (MCD) es \(x(x+1)\), por lo que reescribimos las fracciones: $$\Large \frac{(x+1)}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} $$
Sumamos los numeradores: $$\Large \frac{x+1 + 2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)} $$
b) Multiplicación y División
- En la multiplicación, se multiplican los numeradores y los denominadores.
- En la división, se multiplica por el recíproco de la segunda fracción.
Ejemplo:
Multiplicar: $$\Large \frac{x}{x+2} \times \frac{x+1}{x^2 – 4} $$
Factorizamos \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\): $$\Large \frac{x}{x+2} \times \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} $$
Cancelamos \(x+2\): $$\Large \frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)} $$
Ejemplo de División: $$\Large \frac{x+2}{x-1} \div \frac{x}{x+3} $$
Multiplicamos por el recíproco: $$\Large \frac{x+2}{x-1} \times \frac{x+3}{x} $$ $$\Large \frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)x} $$
3. Condiciones de Existencia
Es fundamental recordar que el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Por lo tanto, se deben excluir los valores de \(x\) que anulan el denominador.
Ejemplo:
Para la fracción $$\Large \frac{x+2}{x^2 – 4} $$
El denominador \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\) se anula en \(x = \pm 2\), por lo que la fracción no está definida para estos valores.
