El Triángulo de Pascal es una herramienta esencial en la combinatoria enumerativa, ya que representa visualmente los coeficientes binomiales, fundamentales para resolver problemas de conteo. En este post se abordarán sus propiedades desde un enfoque estrictamente académico, sin entrar en detalles históricos o fuera del ámbito del conteo matemático.
¿Cómo se construye?
Empieza por el número 1 en la cima. Luego, cada número debajo se obtiene sumando los dos números directamente encima.
Aquí tienes una versión básica del triángulo con las primeras 6 filas:
\(\binom{1}{0} \quad \binom{1}{1}\)
\(\binom{2}{0} \quad \binom{2}{1} \quad \binom{2}{2}\)
\(\binom{3}{0} \quad \binom{3}{1} \quad \binom{3}{2} \quad \binom{3}{3}\)
\(\binom{4}{0} \quad \binom{4}{1} \quad \binom{4}{2} \quad \binom{4}{3} \quad \binom{4}{4}\)
\(\binom{5}{0} \quad \binom{5}{1} \quad \binom{5}{2} \quad \binom{5}{3} \quad \binom{5}{4} \quad \binom{5}{5}\)
\(\binom{6}{0} \quad \binom{6}{1} \quad \binom{6}{2} \quad \binom{6}{3} \quad \binom{6}{4} \quad \binom{6}{5} \quad \binom{6}{6}\)
¿Qué representa el Triángulo de Pascal?
El Triángulo de Pascal es una disposición triangular de números, donde cada número en la posición \((n, k)\) representa el coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\), que indica de cuántas formas se pueden elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos.
La fórmula del coeficiente binomial es: $$ \Large\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Propiedades fundamentales
1. Simetría $$ \Large \binom{n}{k} = \binom{n}{n – k} $$
Esta propiedad indica que elegir \(k\) elementos es equivalente a excluir \(n – k\) elementos del conjunto total.
2. Recursividad (construcción del triángulo) $$ \Large \binom{n}{k} = \binom{n – 1}{k – 1} + \binom{n – 1}{k} $$
Cada número es la suma de los dos que están directamente sobre él. Esta relación permite construir el triángulo fila por fila.
3. Suma de los elementos de una fila $$ \Large \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n $$
Esto indica que la suma de todos los elementos de la fila \(n\) es una potencia de 2, lo cual tiene aplicaciones directas en el conteo de subconjuntos.
4. Aplicación práctica
Ejemplo: ¿Cuántas formas hay de seleccionar 3 personas de un grupo de 10? $$ \Large \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10 – 3)!} = 120 $$
Aplicaciones en problemas de conteo
- Número de subconjuntos de tamaño \(k\)
- Rutas en cuadrículas (caminos combinatorios)
- Problemas básicos de probabilidad
- Distribuciones en arreglos sin repetición
El Triángulo de Pascal actúa como una estructura base para resolver estos problemas de manera directa, visual y algebraicamente fundamentada.