El Problema de la Parada en Teoría de la Computabilidad
Definición del Problema
El problema de la parada consiste en determinar si una máquina de Turing dada se detiene en una entrada determinada o si entra en un bucle infinito. Formalmente, se define la función característica de la parada como: $$ \Large H(M, w) = \begin{cases} 1, & \text{si la máquina } M \text{ se detiene con entrada } w. \\ 0, & \text{si la máquina } M \text{ no se detiene con entrada } w. \end{cases} $$
Demostración de la Indecibilidad
El problema de la parada es indecidible, lo que significa que no existe un algoritmo general que pueda resolverlo para todas las posibles máquinas de Turing y entradas. La demostración clásica se basa en una reducción por contradicción:
- Supongamos que existe una máquina de Turing \(H\) que decide el problema de la parada.
- Construimos una máquina \(D\) que, dada una entrada \(x\), hace lo siguiente:
- Si \(H(x, x)\) indica que \(x\) se detiene, entonces \(D(x)\) entra en un bucle infinito.
- Si \(H(x, x)\) indica que xx no se detiene, entonces \(D(x)\) se detiene.
- Evaluamos \(D(D)\). Si \(H\) es correcto:
- Si \(D(D)\) se detiene, entonces por definición de \(D\), debería entrar en un bucle infinito, lo cual es una contradicción.
- Si \(D(D)\) no se detiene, entonces debería detenerse, lo cual también es una contradicción.
- Concluimos que \(H\) no puede existir.
Consecuencias y Aplicaciones
El problema de la parada tiene profundas implicaciones en la teoría de la computabilidad:
- Clasificación de problemas computables: Define un límite fundamental en la capacidad de las máquinas de Turing.
- Reducciones de indecibilidad: Muchos problemas indecidibles pueden demostrarse mediante reducciones al problema de la parada.
- Límites de la verificación automatizada: No es posible diseñar un programa que verifique si otro programa se detendrá en todas las condiciones.