Ecuaciones Polinómicas

Una ecuación polinómica es una igualdad matemática en la que una expresión polinómica se iguala a cero. Se expresa en la forma general: $$ \Large P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 $$

donde:

  • \(n\) es el grado del polinomio,
  • \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) son coeficientes reales o complejos con \(a_n \neq 0\),
  • \(x\) es la incógnita.

Las soluciones de una ecuación polinómica son los valores de \(x\) que satisfacen la ecuación.


1. Clasificación de Ecuaciones Polinómicas

Las ecuaciones polinómicas se clasifican según su grado:

  • Grado 1: \(ax + b = 0\) (ecuaciones lineales).
  • Grado 2: \(ax^2 + bx + c = 0\) (ecuaciones cuadráticas).
  • Grado 3: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) (ecuaciones cúbicas).
  • Grado 4 o mayor: Ecuaciones de mayor grado.

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que una ecuación polinómica de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) soluciones (raíces), que pueden ser reales o complejas.


2. Métodos de Resolución de Ecuaciones Polinómicas

2.1. Factorización

Si un polinomio se puede factorizar en productos de polinomios de menor grado, se iguala cada factor a cero y se resuelve.

Ejemplo 1: Resolver $$ \Large x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = 0 $$

Factorizamos agrupando términos: $$ \Large (x^3 – 3x^2) + (-4x + 12) = 0 $$

Sacamos factores comunes: $$ \Large x^2(x – 3) – 4(x – 3) = 0 $$

Factorizamos completamente: $$ \Large (x^2 – 4)(x – 3) = 0 $$

Aplicamos diferencia de cuadrados: $$ \Large (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0 $$

Soluciones: $$ \Large x = 2, x = -2, x = 3 $$


2.2. Método de Ruffini (División Sintética)

El método de Ruffini permite dividir un polinomio por un binomio de la forma \(x – r\), útil para encontrar raíces enteras.

Ejemplo 2: Resolver $$ \Large x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 $$

Probamos raíces enteras usando Ruffini con \(x = 1\):

1-611-6
1-56
1-560

El cociente es \(x^2 – 5x + 6\), que se puede factorizar como: \((x – 2)(x – 3) = 0\)

Soluciones: \(x = 1, 2, 3\).


2.3. Fórmula General para Ecuaciones Cuadráticas

Para ecuaciones de segundo grado: $$ \Large ax^2 + bx + c = 0 $$

la solución se obtiene con la fórmula cuadrática: $$ \Large x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $$


2.4. Resolución Numérica y Aproximaciones

Para ecuaciones polinómicas de grado mayor a 4, en general no existe una fórmula cerrada. Se usan métodos numéricos como:

  • Método de Newton-Raphson
  • Método de bisección

Estos permiten encontrar soluciones aproximadas cuando las exactas no pueden determinarse algebraicamente.


3. Propiedades de las Raíces de una Ecuación Polinómica

  1. Suma y producto de raíces (Fórmulas de Vieta):
    • Si \(ax^2 + bx + c = 0\), las raíces \(r_1, r_2\) cumplen: $$ \Large r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a} $$
    • Para ecuaciones cúbicas \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), las raíces \(r_1, r_2, r_3\) cumplen: $$ \Large r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = \frac{c}{a}, \quad r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a} $$
  2. Número de raíces reales y complejas:
    • Si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, las raíces son complejas.
    • Para ecuaciones de grado mayor, se usan el criterio de Descartes y el Teorema de los Signos de Sturm.

4. Aplicaciones de las Ecuaciones Polinómicas

Las ecuaciones polinómicas aparecen en múltiples áreas:

  • Física: Movimiento parabólico, circuitos eléctricos.
  • Economía: Modelado de costos y beneficios.
  • Ingeniería: Diseño de estructuras y análisis de vibraciones.
  • Informática: Algoritmos de interpolación y computación gráfica.

Ejemplo 3: Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de \(30\) m/s desde una altura de \(50\) m. Su altura está dada por: $$ \Large h(t) = -5t^2 + 30t + 50 $$

Para determinar cuándo el proyectil tocará el suelo, resolvemos: $$ \Large -5t^2 + 30t + 50 = 0 $$

Aplicamos la fórmula cuadrática: $$ \Large t = \frac{-30 \pm \sqrt{(30)^2 – 4(-5)(50)}}{2(-5)} $$ $$ \Large t = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 1000}}{-10} $$ $$ \Large t = \frac{-30 \pm \sqrt{1900}}{-10} $$ $$ \Large t = \frac{-30 \pm 10\sqrt{19}}{-10} $$ $$ \Large t = 3 \pm \sqrt{19} $$

Tomamos la solución positiva: $$ \Large t = 3 + \sqrt{19} \approx 7.36 \text{ s} $$

El proyectil toca el suelo aproximadamente en 7.36 segundos.

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