Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que las variables tienen exponente \(1\) y no aparecen multiplicadas entre sí. Su forma general es: $$ \Large ax + b = 0 $$
donde \(a\) y \(b\) son números reales y \(a \neq 0\).
1. Resolución de Ecuaciones Lineales
Para resolver una ecuación lineal, se despeja la variable \(x\) siguiendo los pasos:
- Eliminar paréntesis y denominadores (si los hay).
- Agrupar términos semejantes en ambos lados.
- Despejar la incógnita aplicando operaciones inversas.
Ejemplo 1:
Resolver: $$ \Large 3x – 5 = 10 $$
Paso 1: Sumamos 5 en ambos lados: $$ \Large 3x = 15 $$
Paso 2: Dividimos por 3: $$ \Large x = 5 $$
2. Ecuaciones Lineales con Fracciones
Si una ecuación tiene fracciones, se multiplica por el mínimo común denominador (MCD) para eliminarlas.
Ejemplo 2:
Resolver: $$ \Large \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 $$
Paso 1: MCD de \(2\) y \(3\) es \(6\), multiplicamos toda la ecuación por \(6\): $$ \Large 6 \times \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \right) = 6 \times 5 $$ $$ \Large 3x+2x=303x + 2x = 30 $$
Paso 2: Sumamos términos semejantes: $$ \Large 5x = 30 $$
Paso 3: Dividimos por 5: $$ \Large x = 6 $$
3. Ecuaciones Lineales con Paréntesis
Si una ecuación tiene paréntesis, se aplican las propiedades distributivas antes de despejar la variable.
Ejemplo 3:
Resolver: $$ \Large 2(x – 3) = 5x + 4 $$
Paso 1: Aplicamos la propiedad distributiva: $$ \Large 2x – 6 = 5x + 4 $$
Paso 2: Agrupamos los términos con xx en un lado y los números en el otro: $$ \Large 2x – 5x = 4 + 6 $$ $$ \Large -3x = 10 $$
Paso 3: Dividimos por \(-3\): $$ \Large x = -\frac{10}{3} $$
4. Ecuaciones Lineales con Infinitas o Ninguna Solución
Existen casos en los que una ecuación lineal tiene infinitas soluciones o ninguna solución.
- Infinitas soluciones: Ocurre cuando, al simplificar, se obtiene una identidad como \(0 = 0\).
- Ninguna solución: Ocurre cuando se obtiene una contradicción como \(3 = 5\).
Ejemplo 4: $$ \Large 2(x – 1) = 2x – 2 $$
Distribuyendo: $$ \Large 2x – 2 = 2x – 2 $$
Restamos \(2x\) en ambos lados: $$ \Large -2 = -2 $$
Como la igualdad es siempre verdadera, la ecuación tiene infinitas soluciones.
5. Aplicaciones de Ecuaciones Lineales
Las ecuaciones lineales aparecen en numerosos problemas prácticos como:
- Movimientos con velocidad constante.
- Costos y presupuestos en economía.
- Modelos físicos y químicos.
Ejemplo 5 (Problema aplicado):
Una empresa vende camisetas a $10 cada una. Si sus costos fijos son $200 y cada camiseta cuesta $4 producirla, ¿cuántas camisetas debe vender para no tener pérdidas?
Planteamos la ecuación: $$ \Large 10x = 200 + 4x $$
Restamos \(4x\)): $$ \Large 6x = 200 $$
Dividimos por 6: $$ \Large x = \frac{200}{6} = 33.33 $$
Debe vender al menos 34 camisetas para cubrir sus costos.
