Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas aparecen en numerosos contextos matemáticos y científicos, ya que modelan fenómenos de crecimiento y decrecimiento. Se resuelven utilizando propiedades de los exponentes y los logaritmos.
1. Ecuaciones Exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente de una base. Su forma general es: $$ \Large a^x = b $$
donde \(a > 0\) y \(a \neq 1\).
1.1. Métodos para Resolver Ecuaciones Exponenciales
1.1.1. Igualación de bases
Si la ecuación tiene la misma base a ambos lados, se igualan los exponentes.
Ejemplo 1: Resolver $$ \Large 3^{2x + 1} = 3^5 $$
Dado que las bases son iguales, se igualan los exponentes: $$ \Large 2x + 1 = 5 $$
Resolviendo para \(x\): $$ \Large 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$
1.1.2. Aplicación de Logaritmos
Si no se pueden igualar bases, se aplica el logaritmo en ambos lados.
Ejemplo 2: Resolver $$ \Large 2^x = 5 $$
Aplicamos logaritmo natural: $$ \Large \ln(2^x) = \ln(5) $$
Usamos la propiedad \(\ln(a^b) = b \ln(a)\): $$ \Large \ln(2) = \ln(5) $$
Despejamos \(x\): $$ \Large x = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} $$
Usando aproximaciones: $$ \Large x \frac{1.6094}{0.6931} \approx 2.32 $$
1.1.3. Cambio de Variable
Si la ecuación contiene términos de la forma \(a^{2x}\) o \(a^x\), se usa una sustitución.
Ejemplo 3: Resolver $$ \Large 4^x + 2 \cdot 2^x – 8 = 0 $$
Reescribimos \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) y sustituimos \(y = 2^x\): $$ \Large y^2 + 2y – 8 = 0 $$
Factorizamos: $$ \Large (y + 4)(y – 2) = 0 $$
Las soluciones son \(y = -4\) (descartada, ya que \(2^x > 0\)) y \(y = 2\), por lo que \(2^x = 2\) implica x=1x = 1.
2. Ecuaciones Logarítmicas
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo. Su forma general es: $$ \Large \log_a f(x) = b $$
Se resuelven reescribiéndolas en forma exponencial.
2.1. Métodos para Resolver Ecuaciones Logarítmicas
2.1.1. Conversión a Forma Exponencial
Si la ecuación tiene un solo logaritmo, se reescribe como una ecuación exponencial.
Ejemplo 4: Resolver $$ \Large \log_3 (x + 2) = 4 $$
Reescribimos en forma exponencial: $$ \Large x + 2 = 3^4 $$ $$ \Large x + 2 = 81 $$ $$ \Large x = 79 $$
2.1.2. Aplicación de Propiedades Logarítmicas
Si hay más de un logaritmo, se combinan usando propiedades de los logaritmos.
Ejemplo 5: Resolver $$ \Large \log_2(x) + \log_2(x – 2) = 3 $$
Usamos la propiedad \(\log_a A + \log_a B = \log_a (AB)\): $$ \Large log2[x(x−2)]=3\log_2 [x(x – 2)] = 3 $$
Reescribimos en forma exponencial: $$ \Large x(x – 2) = 2^3 $$ $$ \Large x^2 – 2x = 8 $$ $$ \Large x^2 – 2x – 8 = 0 $$
Factorizamos: $$ \Large (x – 4)(x + 2) = 0 $$
Las soluciones son \(x = 4\) y \(x = -2\), pero \(x = -2\) no es válida porque un logaritmo no puede tener argumento negativo.
Solución: \(x = 4\).
2.1.3. Uso de Logaritmos Naturales
Si la ecuación contiene logaritmos en diferentes bases, se usa el cambio de base: $$ \Large \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $$
Ejemplo 6: Resolver $$ \Large \log_5(x) = \log_7(3x – 4) $$
Aplicamos cambio de base con logaritmos naturales: $$ \Large \frac{\ln x}{\ln 5} = \frac{\ln (3x – 4)}{\ln 7} $$
Multiplicamos cruzado: $$ \Large \ln x \cdot \ln 7 = \ln (3x – 4) \cdot \ln 5 $$
Tomamos \(e^x\) en ambos lados y despejamos \(x\) numéricamente.
3. Consideraciones Finales
- Restricciones en ecuaciones logarítmicas:
- \(\log_a(x)\) solo está definido para \(x > 0\).
- Cualquier solución debe verificarse dentro del dominio permitido.
- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas en aplicaciones reales:
- Crecimiento poblacional.
- Desintegración radiactiva.
- Finanzas y cálculo de interés compuesto.
