Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) son ecuaciones que relacionan una función desconocida con sus derivadas. Se utilizan para modelar fenómenos en diversas áreas como la física, la biología y la ingeniería.
Definición y Clasificación
Una EDO tiene la forma general: \(F(x, y, y’, y», …, y^{(n)}) = 0\), donde \(y\) es la función desconocida de la variable independiente \(x, y, y’, y», …, y^{(n)}\) son sus derivadas.
Las EDO se clasifican según:
- Orden: dado por la derivada de mayor grado presente en la ecuación.
- Linealidad:
- Lineal: si puede expresarse como una combinación lineal de \(y\) y sus derivadas.
- No lineal: si involucra productos, potencias o funciones no lineales de \(y\) o sus derivadas.
- Autónomas y no autónomas: si la ecuación depende explícitamente de \(x\) o no.
Métodos de Resolución
Ecuaciones de Primer Orden
- Variables separables: Se pueden escribir como: \(g(y) dy = f(x) dx\) y resolverse integrando ambos lados.
- Ecuaciones homogéneas: Si puede expresarse como: \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,\) y satisface la condición \(M(x, y) / N(x, y) = f(y/x) \), entonces se usa el cambio \(v = y/x\).
- Ecuaciones exactas: Son aquellas donde existe una función potencial \(F(x, y)\) tal que: \(\frac{\partial F}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N.\)
Ecuaciones de Orden Superior
- Método de reducción de orden: Usado cuando se conoce una solución particular.
- Ecuaciones lineales con coeficientes constantes: Se resuelven con la ecuación característica: \( a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + … + a_1 r + a_0 = 0. \)
- Método de variación de parámetros: Para ecuaciones no homogéneas.
Aplicaciones
- Modelado de crecimiento poblacional.
- Movimiento oscilatorio en sistemas físicos.
- Sistemas eléctricos y circuitos.
Conclusión
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son fundamentales para modelar fenómenos dinámicos y existen diversos métodos para resolverlas según su tipo y orden.