En Geometría Analítica, las ecuaciones permiten representar rectas y curvas en el plano cartesiano mediante relaciones algebraicas entre las coordenadas \(x\) y \(y\).
1. Ecuación de la Recta
Forma Pendiente-Ordenada al Origen
Si una recta tiene pendiente \(m\) y corta al eje \(y\) en el punto \((0, b)\), su ecuación es: $$ \Large y = mx + b $$
donde:
- \(m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\) es la pendiente.
- \(b\) es la intersección con el eje \(y\).
Ecuación de la Recta en Forma General
$$ \Large Ax + By + C = 0 $$
donde \(A, B, C\) son constantes.
Forma Punto-Pendiente
Si una recta pasa por el punto \((x_0, y_0)\) con pendiente \(m\): $$ \Large y – y_0 = m(x – x_0) $$
2. Posiciones Relativas de Dos Rectas
Dos rectas pueden ser:
- Paralelas: Si tienen la misma pendiente, es decir, \(m_1 = m_2\).
- Perpendiculares: Si el producto de sus pendientes es \(-1\), es decir, \(m_1 \cdot m_2 = -1\).
- Secantes: Si se intersectan en un solo punto.
El punto de intersección entre dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones.
3. Ecuaciones de Curvas en el Plano
Ecuación de la Circunferencia
Una circunferencia con centro \((h, k)\) y radio \(r\) tiene la ecuación: $$ \Large (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 $$
Si la circunferencia está centrada en el origen \((0,0)\): $$ \Large x^2 + y^2 = r^2 $$
Ecuación de la Parábola
Una parábola con vértice en \((h, k)\) y eje paralelo al eje \(y\): $$ \Large (x – h)^2 = 4p(y – k) $$
donde \(p\) es la distancia del vértice al foco.
Si su eje es paralelo al eje \(x\): $$ \Large (y – k)^2 = 4p(x – h) $$
Ecuación de la Elipse
Una elipse con centro en \((h, k)\), semiejes \(a\) y \(b\): $$ \Large \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 $$
Si la elipse está centrada en el origen: $$ \Large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Ecuación de la Hipérbola
Para una hipérbola con centro \((h, k)\): $$ \Large \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 $$
Si está centrada en el origen: $$ \Large \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
4. Aplicaciones de las Ecuaciones de Rectas y Curvas
Las ecuaciones en geometría analítica permiten:
- Modelar trayectorias de objetos en movimiento.
- Analizar secciones cónicas en óptica y astronomía.
- Resolver problemas de optimización en la industria.
Conclusión
Las ecuaciones de rectas y curvas en Geometría Analítica permiten modelar y analizar figuras geométricas con precisión, estableciendo una relación fundamental entre el álgebra y la geometría.