Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado de la forma: $$ \Large ax^2 + bx + c = 0 $$
donde \(a, b, c\) son números reales y \(a \neq 0\).
1. Métodos de Resolución de Ecuaciones Cuadráticas
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas:
1.1. Factorización
Si la ecuación puede factorizarse, se iguala cada factor a cero y se resuelve para \(x\).
Ejemplo 1: $$ \Large x^2 – 5x + 6 = 0 $$
Factorizamos: $$ \Large (x – 2)(x – 3) = 0 $$
Igualamos cada factor a cero: $$ \Large x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$ $$ \Large x – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 $$
Soluciones: \(x = 2, x = 3\).
1.2. Fórmula General
Cuando la ecuación no es factorizable de forma simple, se usa la fórmula general: $$ \Large x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $$
El discriminante \(\Delta = b^2 – 4ac\) determina la cantidad y tipo de soluciones:
- \(\Delta > 0\): Dos soluciones reales distintas.
- \(\Delta = 0\): Una solución real única.
- \(\Delta < 0\): Dos soluciones complejas conjugadas.
Ejemplo 2:
Resolver \(2x^2 – 4x – 3 = 0\).
Identificamos \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -3\).
Calculamos el discriminante: $$ \Large \Delta = (-4)^2 – 4(2)(-3) = 16 + 24 = 40 $$
Sustituimos en la fórmula:
$$ \Large x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} $$
$$ \Large x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2} $$
Soluciones: $$ \Large x = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \quad x = \frac{2 – \sqrt{10}}{2} $$
1.3. Completación de Cuadrados
Se usa para expresar la ecuación en la forma \((x – h)^2 = k\).
Ejemplo 3:
Resolver \(x^2 – 6x + 5 = 0\) por completación de cuadrados.
- Movemos el término constante al otro lado: $$ \Large x^2 – 6x = -5 $$
- Sumamos y restamos \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\): $$ \Large x^2 – 6x + 9 = -5 + 9 $$
- Reescribimos como cuadrado perfecto: $$ \Large (x – 3)^2 = 4 $$
- Aplicamos raíz cuadrada: $$ \Large x – 3 = \pm 2 $$
- Resolviendo para \(x\): $$ \Large x = 3 \pm 2 $$ $$ \Large x = 5, x = 1 $$
Soluciones: \(x = 5, x = 1\).
2. Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en:
- Cálculo de áreas y trayectorias en física.
- Optimización en economía e ingeniería.
- Modelado de fenómenos naturales.
Ejemplo 4 (Aplicación Física):
Un objeto es lanzado verticalmente con una velocidad inicial de \(20\) m/s. Su altura \(h(t)\) en función del tiempo está dada por: $$ \Large h(t) = -5t^2 + 20t + 25 $$
Para encontrar el tiempo en que el objeto toca el suelo, resolvemos \(h(t) = 0\): $$ \Large -5t^2 + 20t + 25 = 0 $$
Aplicamos la fórmula general con a=−5a = -5, b=20b = 20, c=25c = 25: t=−20±(20)2−4(−5)(25)2(−5)t = \frac{-20 \pm \sqrt{(20)^2 – 4(-5)(25)}}{2(-5)} t=−20±400+500−10t = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 500}}{-10} t=−20±900−10t = \frac{-20 \pm \sqrt{900}}{-10} t=−20±30−10t = \frac{-20 \pm 30}{-10}
Soluciones: t=−20+30−10=10−10=−1t = \frac{-20 + 30}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 t=−20−30−10=−50−10=5t = \frac{-20 – 30}{-10} = \frac{-50}{-10} = 5
Como el tiempo no puede ser negativo, la respuesta es t=5t = 5 segundos.