En Geometría Analítica, los conceptos de distancia y pendiente permiten describir la posición y la inclinación de elementos geométricos en el plano cartesiano. Estos conceptos son fundamentales para el estudio de rectas, curvas y la relación entre distintos puntos en el espacio bidimensional.
1. Distancia entre Dos Puntos
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se basa en el Teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\), la distancia entre ellos está dada por la fórmula: $$ \Large d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $$
Ejemplo
Dado \(A(1, 2)\) y \(B(4, 6)\), la distancia es: $$ \Large d = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
2. Pendiente de una Recta
La pendiente de una recta mide su inclinación con respecto al eje xx y se define como la razón de cambio entre las coordenadas de dos puntos sobre la recta.
Dada una recta que pasa por los puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\), la pendiente se calcula como: $$ \Large m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
Interpretación de la Pendiente
- Si \(m > 0\), la recta es creciente (sube de izquierda a derecha).
- Si \(m < 0\), la recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).
- Si \(m = 0\), la recta es horizontal.
- Si mm es indefinida (\(x_1 = x_2\)), la recta es vertical.
Ejemplo
Dado \(A(2, 3)\) y \(B(5, 7)\), la pendiente es: $$ \Large m = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} $$
3. Relación entre Pendientes de Rectas
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente: $$ \Large m_1 = m_2 $$
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\): $$ \Large m_1 \cdot m_2 = -1 $$
Ejemplo
Si una recta tiene pendiente \(m_1 = \frac{3}{4}\), entonces una recta perpendicular a ella tendrá pendiente: $$ \Large m_2 = -\frac{4}{3} $$
4. Aplicaciones de la Distancia y la Pendiente
Estos conceptos son esenciales para:
- Calcular la longitud de segmentos en problemas geométricos.
- Determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos dados.
- Analizar el movimiento de objetos en trayectorias lineales.
- Resolver problemas de optimización en geometría y física.
Conclusión
Los conceptos de distancia y pendiente en Geometría Analítica permiten analizar y modelar la posición y la inclinación de rectas y segmentos en el plano cartesiano, siendo herramientas clave en múltiples aplicaciones matemáticas y científicas.