Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es un escalar asociado que proporciona información clave sobre la matriz, como si es invertible o su relación con transformaciones lineales.
Definición para una Matriz \(2 \times 2\)
Si tenemos una matriz $$ \large A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
su determinante es $$ \large \det(A) = ad – bc $$.
Definición para una Matriz \(3 \times 3\)
Para una matriz $$ \large A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$
su determinante se calcula como $$ \large \det(A) = aei + bfg + cdh – ceg – bdi – afh $$.
Propiedades del Determinante
- \(\det(A) = 0\) si y solo si la matriz es singular (no invertible).
- \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
- \(\det(A^T) = \det(A)\).
- Si una fila o columna es múltiplo de otra, entonces \(\det(A) = 0\).
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de vectores con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación por escalares, que cumplen ciertas propiedades.
Definición
Un conjunto \(V\) con elementos llamados vectores, junto con un conjunto de escalares \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\), forma un espacio vectorial si cumple:
- Cierre bajo suma: Si \(u, v \in V\), entonces \(u + v \in V\).
- Asociatividad de la suma: \(u + (v + w) = (u + v) + w\).
- Elemento neutro: Existe un \(0 \in V\) tal que \(v + 0 = v\).
- Elemento opuesto: Para cada \(v \in V\), existe \(-v\) tal que \(v + (-v) = 0\).
- Cierre bajo multiplicación escalar: Si \(v \in V\) y \(\alpha\) es un escalar, entonces \(\alpha v \in V\).
- Distributividad escalar: \( \alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w \).
- Distributividad de escalares: \((\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v\).
- Asociatividad del producto escalar: \(\alpha (\beta v) = (\alpha \beta) v\).
- Elemento neutro multiplicativo: \(1v = v\) para todo \(v \in V\).
Ejemplo de Espacio Vectorial
El conjunto de vectores en \(\mathbb{R}^n\) $$ \large V = \{(x_1, x_2, …, x_n) \mid x_i \in \mathbb{R} \} $$
es un espacio vectorial con las operaciones habituales de suma y multiplicación escalar.
