Las desigualdades algebraicas son expresiones matemáticas en las que dos términos están relacionados mediante los símbolos de desigualdad: $$ \Large <, \quad \leq, \quad >, \quad \geq $$
Su estudio es fundamental para analizar intervalos de solución en diversos contextos matemáticos.
1. Tipos de Desigualdades Algebraicas
- Desigualdades de primer grado (lineales).
- Desigualdades de segundo grado (cuadráticas).
- Desigualdades racionales.
- Desigualdades con valor absoluto.
Cada tipo requiere un método de resolución adecuado.
2. Desigualdades Lineales
Una desigualdad lineal tiene la forma general: $$ \Large ax + b < c $$
Ejemplo 1: Resolver \(2x – 3 \geq 5\)
- Despejamos \(x\): $$ \Large 2x \geq 8 $$ $$ \Large x≥4x \geq 4 $$
- La solución es el intervalo \([4, \infty)\).
Regla importante: Si se multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad se invierte.
3. Desigualdades Cuadráticas
Una desigualdad cuadrática tiene la forma: $$ \Large ax^2 + bx + c \, \mathrel{\#} \, 0 $$
donde \(\mathrel{\#}\) representa \(<, >, \leq, \geq \).
Ejemplo 2: Resolver \( x^2 – 5x + 6 < 0 \)
- Factorizamos: $$ \Large (x – 2)(x – 3) < 0 $$
- Determinamos los puntos críticos \(x = 2\) y \(x = 3\).
- Analizamos los signos en los intervalos \((-\infty, 2)\), \((2,3)\), \((3, \infty)\).
$$ \Large (x – 2)(x – 3) < 0 \quad \text{en } (2,3) $$
- Solución: \((2,3)\).
4. Desigualdades Racionales
Son desigualdades con fracciones algebraicas de la forma: f(x)g(x)#0\frac{f(x)}{g(x)} \mathrel{\#} 0
Ejemplo 3: Resolver \(\frac{x + 1}{x – 3} > 0\)
- Determinamos los valores críticos: \(x = -1\) y \(x=3x = 3\).
- Establecemos los intervalos \((-\infty, -1)\), \((-1,3)\), \((3, \infty)\).
- Analizamos los signos y obtenemos \((-1,3)\).
- Como \(x = 3\) hace el denominador cero, se excluye del intervalo.
Solución: \((-1,3)\).
5. Desigualdades con Valor Absoluto
Se resuelven separando en dos casos: $$ \Large |f(x)| \mathrel{\#} a $$
Ejemplo 4: Resolver \(|2x – 3| \leq 5 \)
- Se descompone en dos desigualdades: \(-5 \leq 2x – 3 \leq 5\)
- Sumamos 3: \(-2 \leq 2x \leq 8\)
- Dividimos entre 2: \(-1 \leq x \leq 4\)
Solución: \([-1,4]\).
6. Consideraciones Finales
- Multiplicar o dividir por un número negativo invierte la desigualdad.
- Para desigualdades cuadráticas y racionales, analizar signos en intervalos.
- Las desigualdades con valor absoluto requieren separación en dos casos.
