La descomposición en factores primos es la expresión de un número entero positivo como un producto de números primos. Este proceso se basa en el Teorema Fundamental de la Aritmética, que establece que todo número entero mayor que 1 puede escribirse de manera única (salvo el orden de los factores) como un producto de números primos.
Definición
Dado un número entero positivo \(n\), su descomposición en factores primos es la expresión: $$ \Large n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} $$
donde:
- \(p_1, p_2, \dots, p_k\) son números primos distintos, y
- \(e_1, e_2, \dots, e_k\) son exponentes enteros positivos.
Método de Descomposición
Para obtener la factorización prima de un número, se sigue el siguiente procedimiento:
- Dividir entre el menor número primo que lo divida exactamente.
- Repetir el proceso con el cociente obtenido, hasta llegar a 1.
Ejemplo
Descomponer \(180\) en factores primos:
- \(180 \div 2 = 90\)
- \(90 \div 2 = 45\)
- \(45 \div 3 = 15\)
- \(15 \div 3 = 5\)
- \(5\) es primo, por lo que el proceso termina.
Así, la descomposición es: \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
Aplicaciones
- Cálculo del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM).
- Criptografía, en algoritmos como RSA.
- Teoría de números, en estudios sobre divisibilidad.
Propiedades
- Unicidad: La factorización en primos es única salvo el orden de los factores.
- Relación con divisibilidad: Si \(a\) divide a \(b\), entonces los factores primos de \(a\) están en \(b\).
- Uso en fracciones: Facilita la simplificación de fracciones algebraicas.
Métodos de descomposición en factores primos
Hay otros métodos para descomponer números en factores primos como Divisiones Sucesivas, Árbol de Factores y el método de la Raíz Cuadrada.
