Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo diferencial, ya que permiten analizar cómo cambian las funciones y modelar fenómenos de variación en distintas disciplinas. En este artículo, exploraremos la definición formal de la derivada, sus principales reglas y algunas de sus aplicaciones más importantes.
1. Definición de la Derivada
La derivada de una función \(f(x)\) en un punto \(x = a\) se define como el límite del cociente de diferencias: $$ \Large f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} $$
Si este límite existe, se dice que la función es derivable en \(a\).
2. Reglas de Derivación
Para calcular derivadas de manera eficiente, se utilizan varias reglas fundamentales:
- Regla de la Potencia: $$ \Large \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}, \quad n \in \mathbb{R}.$$
- Regla del Producto: $$ \Large \frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).$$
- Regla del Cociente: $$ \Large \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) g(x) – f(x) g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \neq 0.$$
- Regla de la Cadena: $$ \Large \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x).$$
- Derivadas de Funciones Trigonométricas: $$ \Large \frac{d}{dx} \sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x.$$
- Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas: $$ \Large\frac{d}{dx} e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0.$$
3. Aplicaciones de la Derivada
3.1. Crecimiento y Decrecimiento de Funciones
Una función \(f(x)\) es:
- Creciente en un intervalo si \(f'(x) > 0\).
- Decreciente en un intervalo si \(f'(x) < 0\).
Los puntos donde \(f'(x) = 0\) son puntos críticos, que pueden corresponder a máximos o mínimos.
3.2. Máximos y Mínimos Relativos (Optimización)
Para determinar los extremos locales de una función:
- Se hallan los puntos críticos resolviendo \(f'(x) = 0\).
- Se analiza la segunda derivada:
- Si \(f»(x) > 0\), el punto crítico es un mínimo local.
- Si \(f»(x) < 0\), el punto crítico es un máximo local.
3.3. Concavidad e Inflexión
La concavidad de una función se determina con la segunda derivada:
- Si \(f»(x) > 0\), la función es cóncava hacia arriba.
- Si \(f»(x) < 0\), la función es cóncava hacia abajo.
Los puntos donde \(f»(x) = 0\) y cambia de signo son puntos de inflexión.
3.4. Aproximaciones Lineales (Diferenciabilidad y Recta Tangente)
La recta tangente a una función \(f(x)\) en \(x = a\) está dada por: $$ \Large y = f(a) + f'(a)(x – a). $$
Esta ecuación se usa para aproximar valores cercanos a \(a\) mediante diferenciales.
3.5. Movimiento y Velocidad
En cinemática, si \(s(t)\) representa la posición de un objeto en función del tiempo:
- La velocidad es \(v(t) = s'(t)\).
- La aceleración es \(a(t) = v'(t) = s»(t)\).
Conclusión
Las derivadas permiten analizar cambios en funciones y resolver problemas de optimización, física, economía y otras disciplinas. Su estudio es fundamental en el cálculo y en aplicaciones científicas y tecnológicas.
