Las derivadas parciales son una extensión del concepto de derivada para funciones de varias variables. Se utilizan ampliamente en el cálculo avanzado, particularmente en el análisis matemático, la física y la ingeniería.
Definición de Derivada Parcial
Sea \(f(x, y)\) una función de dos variables. La derivada parcial de \(f\) con respecto a \(x\) se define como:
$$ \Large \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) – f(x, y)}{h} $$
De manera análoga, la derivada parcial con respecto a \(y\) es:
$$ \Large \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) – f(x, y)}{h} $$
Interpretación Geométrica
La derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial x}\) representa la tasa de cambio de \(f(x, y)\) cuando se varía \(x\) manteniendo \(y\) constante. De manera similar, \(\frac{\partial f}{\partial y}\) mide la variación de la función cuando \(y\) cambia y \(x\) permanece fijo.
Derivadas de Orden Superior
Así como en cálculo de una variable se pueden calcular derivadas de orden superior, en funciones de varias variables se pueden obtener derivadas parciales de segundo orden:
$$ \Large \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$
El teorema de Schwarz establece que si \(f\) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces se cumple:
$$ \Large \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$
Gradiente, Divergencia y Rotacional
- Gradiente: El vector gradiente de \(f(x, y)\) es: \(\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)\) Para funciones en \(\mathbb{R}^3\), se extiende a: \( (\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \)
- Divergencia: Para un campo vectorial \(\mathbf{F} = (P, Q)\) , su divergencia es: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
- Rotacional: Para un campo vectorial \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\), su rotacional es: \(\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} – \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right)\)
Aplicaciones
Las derivadas parciales tienen aplicaciones en ecuaciones diferenciales parciales, optimización multivariable y modelos matemáticos en física e ingeniería.
Conclusión
El estudio de las derivadas parciales es fundamental en el cálculo avanzado y permite analizar funciones de múltiples variables con herramientas como el gradiente, la divergencia y el rotacional.
Etiquetas: derivadas parciales, cálculo avanzado, funciones multivariables, gradiente, divergencia, rotacional, teorema de Schwarz, ecuaciones diferenciales parciales.