En Geometría Diferencial, la curvatura y la torsión son parámetros fundamentales para describir el comportamiento de una curva en el espacio. La curvatura mide cuánto se desvía la curva de una línea recta, mientras que la torsión mide cuánto se desvía del plano osculador.
1. Curvas en el Espacio
Una curva parametrizada en \(\mathbb{R}^3\) se define como una función vectorial diferenciable: $$ \Large \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $$
donde \(t\) es un parámetro real.
La velocidad de la curva es: $$ \Large \mathbf{r}'(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} $$
y su aceleración: $$ \Large \mathbf{r}»(t) = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} $$
2. Curvatura (\(\kappa\))
La curvatura mide la variación de la dirección de la tangente a la curva y se define como: $$ \Large \kappa = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}»(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3} $$
Si la curva se expresa en términos de su parámetro de arco \(s\), la curvatura también puede escribirse como: $$ \Large \kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| $$
donde T\mathbf{T} es el vector tangente unitario: $$ \Large \mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}’}{\|\mathbf{r}’\|} $$
3. Torsión (\(\tau\))
La torsión mide cómo cambia el plano osculador a lo largo de la curva y se define como: $$ \Large \tau = \frac{(\mathbf{r}’ \times \mathbf{r}») \cdot \mathbf{r}»’}{\|\mathbf{r}’ \times \mathbf{r}»\|^2} $$
También puede expresarse en términos del vector binormal unitario B\mathbf{B}: $$ \Large \tau = – \frac{d\mathbf{B}}{ds} \cdot \mathbf{N} $$
donde \(\mathbf{N}\) es el vector normal unitario y \(\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}\).
4. El Triedro de Frenet-Serret
Los vectores \(\mathbf{T}\), \(\mathbf{N}\) y \(\mathbf{B}\) forman un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frenet-Serret. Sus ecuaciones diferenciales son: $$ \Large \frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \mathbf{N} $$ $$ \Large \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B} $$ $$ \Large \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N} $$
Estas ecuaciones describen completamente la geometría de la curva.
5. Interpretación Geométrica
- Si \(\kappa = 0\): La curva es una línea recta.
- Si \(\tau = 0\): La curva es plana (se encuentra en un solo plano, como un círculo).
- Si \(\kappa \neq 0\) y \(\tau \neq 0\): La curva es tridimensional y tiene torsión, como una hélice.
Conclusión
Los conceptos de curvatura y torsión permiten describir de manera precisa el comportamiento de curvas en el espacio. Son herramientas esenciales en aplicaciones como la física, la mecánica y la ingeniería.